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Deutung von Ladungsverteilung
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Tetra
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Anmeldungsdatum: 07.11.2006
Beiträge: 950

BeitragVerfasst am: 13 Jan 2007 - 14:29:23    Titel: Deutung von Ladungsverteilung

Gegeben ist das Elektrische Feld:

r:=(x,y,z)

E(r)= ( a/(x²+y²) ) * (x,y,0); a>0 konst

Damit ergibt sich durch (J/Jx,J/Jy,J/Jz)*E(r)= 4 Pi * roh(r), mit roh(r):= Ladungsverteilung, für Roh =0

Das scheint mir jedoch irgendwie nicht ganz zu stimmen. Obwohl mir das Feld auch komisch vorkommt. (ist eine eizige Ebene die mit 1/r abfällt)

Kann mir das wer erklären?


PS hie rnoch kurz die Rechnung:

(J/Jx,J/Jy,J/Jz)* ( a/(x²+y²) ) * (x,y,0)

=a/(x²+y²) - 2x²a/(x²+y²)² + a/(x²+y²) + - 2y²a/(x²+y²)²

= 2a/(x²+y²) - 2a/(x²+y²)² * (x²+y²)

=0
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Anmeldungsdatum: 05.08.2006
Beiträge: 2779
Wohnort: Heidelberg

BeitragVerfasst am: 13 Jan 2007 - 16:29:07    Titel: Re: Deutung von Ladungsverteilung

Hallo!

Tetra hat folgendes geschrieben:
Das scheint mir jedoch irgendwie nicht ganz zu stimmen. Obwohl mir das Feld auch komisch vorkommt. (ist eine eizige Ebene die mit 1/r abfällt)

Das stimmt nicht ganz: Das Feld ist auch schon außerhalb der x-y-Ebene vorhanden, also bei z<>0, es ist nur nicht von z abhängig. Das bedeutet es ist zylindersymmetrisch um x=y=0.
Wenn es mit 1/r abfällt und dabei immer in er-Richtung zeigt, dann ist das für gewöhnlich das Feld einer Ladung, die auf einer Geraden gleichmäßig (homogen) verteilt ist.
Dabei ist die z-Komponente des E-Vektors natürlich auch immer 0.

Gruß
Marco
Tetra
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Anmeldungsdatum: 07.11.2006
Beiträge: 950

BeitragVerfasst am: 13 Jan 2007 - 16:48:22    Titel:

Stimmt.

Hatte ich noch in Eriinerung von gestern, konnte mir das aber nicht mehr erklären beim Aufschreiben hier Wink

Das heißt aber dass die LAdungsverteilung eine Gerade sein muss. Irgendwie so hier:

roh(r)=a*(0,0,1) oder so....

Aber warum kommt das nicht raus?
as_string
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Anmeldungsdatum: 05.08.2006
Beiträge: 2779
Wohnort: Heidelberg

BeitragVerfasst am: 13 Jan 2007 - 17:14:37    Titel:

Hallo!

Tetra hat folgendes geschrieben:
roh(r)=a*(0,0,1) oder so....

Naja, das stimmt natürlich nicht so ganz... Twisted Evil
Das wäre dann ja ein konstanter Vektor in z-Richtung. Rho soll aber eine skalare Funktion sein, die von x, y und z abhängt.
Da müsstest Du dann schreiben:
rho(r)=roh0 für z=0
rho(r)=0 für z<>0

Gruß
Marco

PS: Deine Rechnung muss ich mir mal noch genauer anschauen... Komme aber erst später dazu.
Tetra
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Anmeldungsdatum: 07.11.2006
Beiträge: 950

BeitragVerfasst am: 13 Jan 2007 - 17:28:46    Titel:

das wollte ich eigentlich damit ausdrücken, aber stimmt natürlci dass das so wie ich es stehen hatte nicht stimmt....
as_string
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Anmeldungsdatum: 05.08.2006
Beiträge: 2779
Wohnort: Heidelberg

BeitragVerfasst am: 13 Jan 2007 - 17:35:28    Titel:

Hallo!

Also für die Divergenz habe ich (das stimmt mit Deinem glaube ich überein, ist nur etwas umgeformt):
d/dx Ex = (a(x²+y²) - 2ax²)/r^4 = a*(y²-x²)/r^4
d/dy Ey = (a(x²+y²) - 2ay²)/r^4 = a*(x²-y²)/r^4
d/dz Ez = 0

insgesamt also:
div(E) = a*(y²-x²+x²-y²)/r^4 = 0 für r<>0

das alles mit r = sqrt(x²+y²) also r der Abstand von der z-Achse.
So weit stimmt das also. Um die Ladungsdichte auf der z-Achse dann wirklich raus zu bekommen, musst Du mit Integralsätzen arbeiten. Dabei musst Du dann eine geschlossene zylinderförmige Fläche annehmen, deren Symmetrieachse auch mit der z-Achse zusammenfällt, deren Höhe aber beliebig ist und deren "Deckelflächen" parallel zur x-y-Ebene sind. Das Integral Fläche mal E-Feld ist dann recht einfach auszurechnen, weil die Mantelfläche immer senkrecht auf dem Feld steht und die Deckel gar nichts beitragen und damit das Skalarprodukt dort 0 ergibt. Du hast dann also noch Mantelfläche mal E-Feld, das auch noch in einer festen Entfernung r zur z-Achse konstant ist. Damit ergibt sich für das Flächenintegral um eine Strecke l der Linienladung:
2*pi*r*l*E(r) = 2*pi*r*l*a/l = a* 2*pi*l
Und das muss prop zu der Ladungsmenge sein, die innerhalb des Zylinders ist. Die ist aber gerade rho*l, so dass irgendwie rho = const*a*2*pi ist, also insgesamt konstant.
Das muss nach der anderen Rechnung komplett auf der z-Achse konzentriert sein und aus Symmetriegründen dort gleichmäßig.

Ich hoffe, das war jetzt nicht zu grob und Du kannst etwas damit anfangen... Smile

Gruß
Marco
Tetra
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Anmeldungsdatum: 07.11.2006
Beiträge: 950

BeitragVerfasst am: 13 Jan 2007 - 18:33:32    Titel:

ich schau das mirgen nochmaldurch, aber im groben hab ich glaube ich verstandne was du willst Wink

Danke schon mal für die Hilfe.
p-norm
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Anmeldungsdatum: 26.09.2006
Beiträge: 1375
Wohnort: Regensburg

BeitragVerfasst am: 13 Jan 2007 - 20:58:52    Titel:

hi...
das E-feld kann man so ausdrucken: E=a/r*er r²=(x²+y²), er=r/|r|

für r!=0 ist divE=0 in übereinstimmung mit deiner rechnung...
nun man sieht leicht dass bei r->0 divE singulär ist...um nun Roh doch ahgeben zu können muss man etwas tricksen...

ich definiere E_s=a/(x²+y²+s)*(x,y,0)
divE_s=2a[s/(r²+s)²]

nun integiert man über eine kleine kugel um den mittelpunkt:
integral( über kugelvol. mit r'<s){2a[s/(r²+s)²]}=2*pi*a*l*[1-s/(r'²+s)],

Q=e0*lim(s->0){2*pi*a*l*[1-s/(r'²+s)]}=e0*2*pi*a*l

mit e0=epsilon_null, l=Länge des zylinders

=> Roh(r)=Q*delta(r) mit delta(r) DIRAC-Delta


nun überprüfe man es mit dem GAUSS'schen Satz:

man gehe dabei so vor wie es as_string vorgeschlagen hat:

E*2*pi*r*l=1/e0*integral(mantelfläche)(Q*delta(r))=1/e0*Q=2*pi*a*l

=> E=a/r und mit dem richtungsvektor er multipliziert anschliessend das ursprüngliche feld...
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