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Wie berechnet man den Eigenwert bzw. die Eigenwerfunktion ?
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vallian
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Anmeldungsdatum: 01.12.2004
Beiträge: 1

BeitragVerfasst am: 01 Dez 2004 - 23:06:13    Titel: Wie berechnet man den Eigenwert bzw. die Eigenwerfunktion ?

Ich habe Folgendes Beispiel zu Lösen :

Man bestimme die Eigenwerte und Eigenfuntion des linearen Eiggenwertproblems.
y"+lamda²*y=0; y(1)=y(-1) ;y'(1)=y'(-1)

Also leider habe ich nicht wircklich eine Idee wie man so was Lösen könnte. Vielleicht erbarmt sich jemand und hilft mir Mahte dummie.
Physikus
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 02 Dez 2004 - 22:36:11    Titel:

Puh, da musste ich auch erstmal wieder nachschlagen; kaum zu glauben, wie schnell man sowas wieder vergisst. Shocked
Man geht so vor:

1.Erstmal wird ein Fundamentalsystem der DGL sowie (bei inhomogenen Gleichungen, was diese aber nicht ist) eine partikuläre Lösung bestimmt. Man muss dabei eine Fallunterscheidung machen, je nachdem ob Lambda Null ist oder nicht (oder allgemein, ob der von lambda abhängige Koeffizient Null ist).
2.Dann berechnet man die Determinante einer 2x2-Matrix, die aus den Randwerten besteht. Konkret: Sind a und b die Randstellen, dann ist
R_1[y] = c_11*y(a) + c_12*y'(a) + c_13*y(b) + c_14*y'(b) sowie
R_2 analog, nur mit c_11 => c_21 usw. Randwerte sind dann
R_1[y] = alpha_1, R_2[y] = alpha_2.
(In deinem Beispiel ist a = 1, b = -1 und die Bedingungen sind y(1) - y(-1) = 0 und y'(1) - y'(-1) = 0, also c_11 = 1, c_13 = -1, c_12 = c_14 = 0; c_22 = 1, c_24 = -1, c_21 = c_23 = 0 und alpha_1 = alpha_2 = 0.)
Die 2x2-Matrix sieht so aus: in der ersten Zeile steht R_1[y_1(lambda)] und R_2[y_1(lambda)] und in der zweiten dasselbe mit y_2 (y_1,2 sind die Fundamentallösungen, die man in 1. bestimmt hat.) Die Eigenwerte lambda erhält man aus der Bedingung, dass die Determinante Null ergibt.
3.Die Eigenfunktionen bestimmt man aus dem Kern der 2x2-Matrix aus a); die Lösung des Gleichungssystems liefert zwei Konstanten C_1, C_2 und eine Eigenfunktion ist dann
y = C_1*y_1(x, lambda) + C_2*y_2(x, lambda) .

So die allgemeine Methode. Dann versuch das mal, auf dein Beispiel anzuwenden; wenn's Probleme gibt, dann meld dich. Wink
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