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Bestimmt divergend
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bihor
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Anmeldungsdatum: 29.10.2004
Beiträge: 17
Wohnort: Bonn

BeitragVerfasst am: 01 Dez 2004 - 23:20:53    Titel: Bestimmt divergend

Also mir ist der Unterschied zwischen divergend und bestimmt divergend noch nicht ganz klar. Kann mir das jemand bitte an einem Beispiel erklären? Shocked
Gast







BeitragVerfasst am: 02 Dez 2004 - 02:31:28    Titel:

(a_n) = (n) ist bestimmt divergent, da sie für n->unendlich über alle Grenzen wächst.

(a_n) = (-1)^n ist unbestimmt divergent, da sie zwischen 1 und -1 "hin und herspringt".

Oder einfacher: Wenn lim(n->unendlich) a_n = + oder - unendlich, dann sind Folgen bestimmt divergent
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 02 Dez 2004 - 22:40:05    Titel:

Ich hab aber gelernt, dass das "uneigentlich konvergent" heißt und nicht "bestimmt divergent". Divergent sind in dem Sinne dann nur solche Folgen wie a_n = (-1)^n.
bihor
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Anmeldungsdatum: 29.10.2004
Beiträge: 17
Wohnort: Bonn

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2004 - 23:33:41    Titel: Antwort

Schade, dass das keiner so genau weiss, in Büchern habe ich dazu auch nichts definitives gefunden...
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2004 - 11:32:37    Titel:

Ich habe mal meinen AnaIII Prof drauf angeschprochen. Der meinte, dass diese Begriffe nicht gebräuchlich sind.


Die Einführung eines neuen Begriffes muss natürlich begründet werden. Und daran scheitert man hier. Der Witz ist ja, dass es auch nicht wirklich Sinn macht allgemein darüber zu schprechen, denn die Divergenz "gegen unendlich" ist ja im wesentlichen eine Konvergenz gegen ein Element, was im Raum nicht vorhanden ist. Demnach kann man bei Divergenz "gegen unendlich" sagen: Die Folge konvergiert nicht in R z.B. bzw. ist nach oben unbeschränkt. Somit bleibt nur eine einzige richtige art von Divergenz: nämlich die, wo der Wert schaukelt, wie oben bei (-1)^n. Und das kann man ja als Divergent bezeichnen. Somit braucht man diese Begriffsdifferentiation nicht.

Ausserdem gibt es Folgen, die "Beides" erfüllen können, wenn man nicht aufpasst:

a_n = n für n = 0 (mod 3), 1 für n = 1 (mod 3) und -1 für n = 2 (mod 3)

Ist unbeschränkt, und der Beschränkte Teil schaukelt Smile

Ich benutze die Begriffe hingegen gerne. Und für mich ergeben sie Sinn, weil es einfach klarer ist (für mich):

Ich versuche mal eine "topologische" und dann eine einfache Definition:

Bestimmt divergent: Es gibt eine Einbettung g in einen (geeigneten topologischen) Raum, in dem die Folge der Bilder g(a_n) konvergiert.
Unbestimmt divergent: Für jede Einbettung in g in einen Raum ist die Folge der Bilder g(a_n) nicht konvergent.

Das ganze macht natürlich dann sinn, wenn der Ausgangsraum den Begriff "Grenzwert" sinnvoll definiert.

Einfache Definition für R:

Bestimmt divergent: Für jedes R > 0 gibt es ein n sodass für alle m > n a_m > R bzw. a_n < -R. Bei < heisst dann bestimmt divergent gegen -unendlich. > heisst bestimmt divergent gegen +unendlich.
Unbestimmt divergent: Die Folge ist nicht bestimmt divergent und auch nicht konvergent
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