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Konvergierte Reihe
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kuku
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Anmeldungsdatum: 21.05.2006
Beiträge: 34

BeitragVerfasst am: 14 Jan 2007 - 16:10:53    Titel: Konvergierte Reihe

hallo zusammen,
hab eine aufgabe und weiß überhaupt nicht wie ich da vorgehen soll.
Die Aufgabe ist wie folgt:

Sei die Folge (ai) i aus N eine beschränkte Folge und |x|<1.
Zeige, dass damit die folgende Reihe konvergiert:

Die Summe ai * x^i . mit i=1 bis unendlich.

Es wäre echt lieb, wenn ihr mir dabei helfen könntet.

LG
Kuku
Peneli
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Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223

BeitragVerfasst am: 14 Jan 2007 - 16:16:50    Titel:

Schätze |a_k| gegen eine bliebige obere Grenze M (meinetwegen M:=sup(|a_k|)) ab und benutze dann:
sum(k=1 bis n)(M * x^k)=M*sum(k=1 bis n)(x^k)=M*(1-x^k)/(1-x).
Grenzwertbetrachtung und fertig.
MadJack
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Anmeldungsdatum: 13.04.2006
Beiträge: 151

BeitragVerfasst am: 14 Jan 2007 - 16:52:39    Titel:

Das ist doch eine geometrische Reihe. Da kannst du einfach das Quotientenkriterium benutzen und wenn das was rauskommt kleiner als 1 ist, ist die Reihe konvergent.
kuku
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Anmeldungsdatum: 21.05.2006
Beiträge: 34

BeitragVerfasst am: 14 Jan 2007 - 20:06:04    Titel:

MadJack hat folgendes geschrieben:
Das ist doch eine geometrische Reihe. Da kannst du einfach das Quotientenkriterium benutzen und wenn das was rauskommt kleiner als 1 ist, ist die Reihe konvergent.



wie soll ich da vorgehen, bitte??
verstehe von sowas NULL:(


danke für jede tipps
LG
KuKu
saugnapf
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Anmeldungsdatum: 20.12.2006
Beiträge: 126

BeitragVerfasst am: 14 Jan 2007 - 20:12:19    Titel:

Wie geht denn das Quotientenkriterium ? Hast du dir das mal angeguckt ?
Nebenbei könntest du hier , da (ai) beschränkt ist, die Folge (ai) durch ihre Obere Schranke abschätzen...

Ist dann A diese obere Schranke, dann ist A*sum(i=1, oo)[x^(i)] eine Majorante, und da kannst du dann einfach mit der geometrischen Reihe argumentieren... (bräuchtest das Quotientenkriterium also nicht, angucken solltest du es dir trotzdem, weil mans oft braucht...)
kuku
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Anmeldungsdatum: 21.05.2006
Beiträge: 34

BeitragVerfasst am: 14 Jan 2007 - 20:40:18    Titel:

Im unterricht hatten wir nen Satz gehabt in dem vorkommt: dass die geom. Reihe für |x|<1 konvergent ist.
und in einem anderen hatten wir gezeigt dass die summe ai mit i=1 bis °° eine nullfolge ist => konvergent.

kann ich nicht die beide sätze in verbindung bringen?


danke
LG
KuKu
Peneli
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Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223

BeitragVerfasst am: 14 Jan 2007 - 21:10:54    Titel:

Nein, verbinden kannst Du die nicht, zumal ich den zweiten nicht nur anzweifle, sondern glatt weg sage: Diese Aussage ist so falsch! Das kann man sich schnell an einem Bsp. verdeutlichen mit a_n=1/n. (a_n) ist Nullfolge, aber die dazugehörige Reihe divergiert. Stattdessen gilt die umgekehrte Richtung: Reihe konvergent => (a_n) Nullfolge.

Nun noch mal zu Deiner Aufgabe. Den ersten Satz brauchst Du, das steht schon oben in meinem ersten Posting, nur mit anderen Worten.
Die a_i stören, also musst Du sie verschwinden lassen. Da Du weißt, dass die Folge (a_i) beschränkt ist, gibt es ein M, so dass |a_i|<=M ist für alle i.
Desweiteren solltest Du wissen: Wenn die Reihe der Beträge konvergiert, so konvergiert auch die Reihe. Ersteres nennt man übrigens "absolute Konvergenz".

Also haben wir:
sum(i=1 bis n) |a_i * x^i| <= sum(k=1 bis n)(M * x^k).
Leuchtet das soweit ein?

Jetzt M ausklammern, also vor die Summe schreiben. Dann den Satz über die geomerische Reihe anwenden, auf absolute Konvergenz schließen und daraus die Konvergenz der Reihe folgern...
kuku
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Anmeldungsdatum: 21.05.2006
Beiträge: 34

BeitragVerfasst am: 14 Jan 2007 - 21:45:23    Titel:

Peneli hat folgendes geschrieben:
Nein, verbinden kannst Du die nicht, zumal ich den zweiten nicht nur anzweifle, sondern glatt weg sage: Diese Aussage ist so falsch! Das kann man sich schnell an einem Bsp. verdeutlichen mit a_n=1/n. (a_n) ist Nullfolge, aber die dazugehörige Reihe divergiert. Stattdessen gilt die umgekehrte Richtung: Reihe konvergent => (a_n) Nullfolge.

Nun noch mal zu Deiner Aufgabe. Den ersten Satz brauchst Du, das steht schon oben in meinem ersten Posting, nur mit anderen Worten.
Die a_i stören, also musst Du sie verschwinden lassen. Da Du weißt, dass die Folge (a_i) beschränkt ist, gibt es ein M, so dass |a_i|<=M ist für alle i.
Desweiteren solltest Du wissen: Wenn die Reihe der Beträge konvergiert, so konvergiert auch die Reihe. Ersteres nennt man übrigens "absolute Konvergenz".

Also haben wir:
sum(i=1 bis n) |a_i * x^i| <= sum(k=1 bis n)(M * x^k).
Leuchtet das soweit ein?

Jetzt M ausklammern, also vor die Summe schreiben. Dann den Satz über die geomerische Reihe anwenden, auf absolute Konvergenz schließen und daraus die Konvergenz der Reihe folgern...



ahaaaaaa, nun weiss ich was du meinst danke ich versuchs;)
lg
KuKu
Peneli
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Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223

BeitragVerfasst am: 15 Jan 2007 - 07:10:22    Titel:

Muss mich an folgender Stelle geringfügig korrigieren:
Peneli hat folgendes geschrieben:

sum(i=1 bis n) |a_i * x^i| <= sum(k=1 bis n)(M * x^k).
In der 2. Summe muss x^k selbstverständlich in Betragsstrichen stehen!
Ps.: Sorry für das Wechseln der Indizes. Das war nicht beabsichtigt, ich nehm nur lieber k als i, weil i für die imaginäre Einheit reserviert ist. Wink
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