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Vollständige Induktion! keiner konnte die Aufgabe :(
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Mephi
Gast






BeitragVerfasst am: 03 Dez 2004 - 14:03:56    Titel: Vollständige Induktion! keiner konnte die Aufgabe :(

Hallo!
Ich habe ein Problem mit einer Aufgabe zur vollständigen Induktion.
Das Problem ist, dass niemand in meiner Übungsgruppe die Aufgabe lösen konnte und unser Übungsleiter (Assistent) auch nicht. sprich, ihr seit meine letzt Hoffnung!

Die Aufgabe lautet:
Für alle n Element IN, n>2 gilt:
n + (Wurzel n) < n * (Wurzel n)


Im Vorraus schon mal vielen Dank für Eure Bemühungen!

gruß
Mephi
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2004 - 14:44:24    Titel:

Beweisen kann man das ganz einfach, aber direkt und nicht mit vollst. Induktion:

2 + Wurzel(2) < 2 * Wurzel(2)
3 + Wurzel(3) < 3 * Wurzel(3)

Ab 4 gilt
Wurzel(n) >=2
und Wurzel(n) < n

n + Wurzel(n) < n + n = n * 2 < n * Wurzel(n)
Mit obigen Aussagen ist das dann der Beweis.
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2004 - 15:05:39    Titel:

Für eine Induktion bräuchte man doch eine (Un-)Gleichung mit n und n-1 oder n+1 ? Mal sehen, ob sich so etwas konstruieren lässt:

n + Wurzel(n) < n * Wurzel(n)
n + 2*Wurzel(n) < (n+1) * Wurzel(n)
1/Wurzel(n) + 2 < (n+1)

oder auch:
1/Wurzel(n) < (n-1)

Für n = 3 gitl das:
1/1,7... < 2
(und für alle größeren n auch, wie man leicht sieht, weil der Quotient immer kleiner wird und die rechte Seite immer größer.)

Mhm Induktion ist das aber auch nicht.
algebrafreak
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2004 - 16:40:57    Titel:

Schmeisst den Assi raus Smile

Basis: n = 3
3 + sqrt(3) < 5 < 3*sqrt(3)
Sei n aus N_3 und gelte n + sqrt(n) < n sqrt(n)
Dann gilt
(n+1)sqrt(n+1) = n sqrt(n+1) + sqrt(n+1) > n sqrt(n) + sqrt(n+1) > (I.A.) n + sqrt(n) + sqrt(n+1) > (n > 2) (n + 1) + sqrt(n+1)
Mephi
Gast






BeitragVerfasst am: 04 Jan 2005 - 13:47:17    Titel:

Ansatz:
(n+1)+ Wurzel(n+1) < (n+1) * Wurzel(n+1)

kann man auch einfach schreiben:
Wurzel(n+1) = Wurzel(n+1)

da n > 2 ist

muss (n+1) + x < (n+1) * x sein?

gruß
Mephi
Michael1980
Gast






BeitragVerfasst am: 07 Jan 2005 - 08:18:19    Titel:

Meines achtens müsste das so gehen...
sicher bin ich mir aber nicht, was meint ihr?

gruß
Michael
xaggi
Senior Member
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 07 Jan 2005 - 09:49:45    Titel:

Substituieren kannst du eigentlich immer, wenn es das ist, was du meinst. Nur obs was bringt. Hier spart es dir, glaube ich, höchstens ein wenig schreibarbeit.
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