rekursiv definierte folge

nassi · Gast

hi leute,
komme bei der aufgabe nicht weiter, könnt ihr mir helfen?
aufgabe:

Sei x>=0 und (an) n€N die folgendermaßen rekursiv definierte Folge:

a1 > x und an+1 = 1/2 (an+(x)/(an))
zeigen Sie, dass
an > x Für alle n>=1 und lim n-->unendl von an=x

ich habe keine ahnung und wäre euch wirklich sehr dankbar.

Mfg

Thomas_Da · Full Member Anmeldungsdatum: 21.11.2004 Beiträge: 352 Wohnort: Darmstadt

Der am einfachsten ist ein Beweis, wenn man einen Widerspruch zu einer Annahme findet:
Für x=5 und a1=6 ergibt sich für a2, a3, ...:
3,41666667
2,44004065
2,24459342
2,23608417
2,23606798
...
2,23606798
Die an sind bei diesem Beispiel kleiner als x!

Und noch den Grenzwert:
Beim Bilden des Grenzwertes für n gegen unendlich unterscheiden sich an und an+1 nicht mehr, so dass beides gleich gesetzt werden kann.
an+1 = 1/2 (an+(x)/(an))
an = 1/2 (an+(x)/(an))
Nun diesen Term nach an auflösen:
1/2*an = 1/2 *(x)/(an)
an = (x)/(an)
(an)² = (x)
an = Wurzel(x)

Also der Grenzwert ist nicht x sondern die Wurzel von x.

Ich denke, Du hast die Aufgabe nicht ganz richtig notiert, wenn der Grenzwert x ist, dann ist es auch logisch, dass die an immer größer als x sind, weil dann eine Annäherung langsam von oben an x stattfindent.

nassi · Gast

hi,

deine grenzwertbildung hat mir gefallen. Müsste stimmen, dass der Grenzwert von an gleich dem Grenzwert von an+1 ist.

aber dein Beweis da oben dürfte zu leicht sein...der ist doch auch dann für x1>x ausgelegt oder? muss aber doch leider heißen x1>wurzel(x) und an>wurzel(x)

ich denke man muss irgendwie bei dem term von an+1 auf an kommen.
der müsste dann ja so lauten:

an=1/2(an-1 + x/an-1)
aber ich kann nicht so wirklich damit was anfangen.

Thomas_Da · Full Member Anmeldungsdatum: 21.11.2004 Beiträge: 352 Wohnort: Darmstadt

an+1 = 1/2 (an+(x)/(an))

Im Folgenden muss ein Beweis durch vollst. Induktion durchgeführt werden.

Vorgegeben:
a1 > Wurzel(x)
Damit gilt an > Wurzel(x) für das erste Element der Reihe.

Zu zeigen:
an+1 > Wurzel(x) für alle n>=1
dabei darf davon ausgegangen werden, dass an > Wurzel(x) gilt.

an+1 = 1/2 (an+(x)/(an))
an+1 = 1/2 (an + [Wurzel(x)]²/(an) )
an+1 = 1/2 * an + 1/2 * [Wurzel(x)]²/(an)
an+1 = 1/2 * an + 1/2 * [Wurzel(x)]²/(an) > 1/2 * Wurzel(x) + 1/2 * [Wurzel(x)]²/(an)

Weil
an > Wurzel(x)
an * Wurzel(x) > Wurzel(x) * Wurzel(x)
Wurzel(x) > Wurzel(x) * Wurzel(x) / an
Wurzel(x) > [Wurzel(x)]²/(an)
lässt sich obige Ungleichung wie folgt vereinfachen:

an+1 = 1/2 * an + 1/2 * [Wurzel(x)]²/(an) > 1/2 * Wurzel(x) + 1/2 * Wurzel(x)
an+1 = 1/2 * an + 1/2 * [Wurzel(x)]²/(an) > Wurzel(x)
an+1 > Wurzel(x)