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Geschickte Substitution gesucht
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Christoph
Gast






BeitragVerfasst am: 03 Dez 2004 - 21:26:27    Titel: Geschickte Substitution gesucht

Hi,

Kennt jemand die geschickte Substitution, mit der man sqrt(1+x^2) in den Grenzen 0 bis b>0 integrieren kann?

Gruß
Christoph
wild_and_cool
Moderator
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2004 - 11:17:36    Titel:

Also das nich ganz so einfach...

Ich würde mal x=sinh(t) versuchen, denn:
cosh(t)=sqrt(sinh²(t)+1)
Christoph
Gast






BeitragVerfasst am: 04 Dez 2004 - 23:53:50    Titel:

Das mit dem sinh hab ich schon mal probiert, aber da kam nur komisches Zeug raus, hässliche Terme mit sinh(cosh(b)) und sowas. Hab noch keinen Weg gefunden, dass in die Form zu überführen, die Maple mir liefert. Gibts nicht noch was anderes?
wild_and_cool
Moderator
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Moderator


Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 05 Dez 2004 - 14:06:26    Titel:

Also das versteh ich jetzt nich:

Substitution:
x=sinh(t)
dx=cosh(t)dt

Dann Integral:
INT[0..b]{wurzel(1+x²)dx} -->
Ab hier keine Grenzen mehr einsetzen, da sonst die Grenzen der Substiution dastehen müssten !!!
INT[...]{wurzel(1+sinh²(t))*cosh(t)dt}
INT[...]{cosh(t)*cosh(t)dt} --> INT[...]{cosh²(t)dt}

Das sieht doch dann schon einiges besser aus...
Jetzt kann man sich das aus ner Formelsammlung holen:

INT[...]{cosh²(t)dt}=1/2 * cosh(t) * sinh(t) + 1/2 * t

Jetzt wieder resubstituieren:
1/2 * cosh(t) * sinh(t) + 1/2 * t =
1/2 * Wurzel(1+sinh²(t)) * sinh(t) + 1/2 * t =
1/2 * Wurzel(1+x²) * x + 1/2 * arcsinh(x)

Jetzt noch die Grenzen einsetzen und fertig !!!

Wenn das mit der Formelsammlung auch nix is, dann geht's weiter...

cosh(t) = 1/2 * (e^t + e^(-t))
cosh²(t) = {1/2 * (e^t + e^(-t))}²
{1/2 * (e^t + e^(-t))}² = {1/4 * (e^(2t) + 2 + e^(-2t)}

INT[...]{cosh²(t)dt} = INT[...]{1/2 * (e^t + e^(-t))}²dt =
INT[...]{1/4 * (e^(2t) + 2 + e^(-2t)}dt =
1/4 * ( INT[...]{e^(2t)dt} + INT[...]{2dt} + INT[...]{e^(-2t)dt} ) =
1/4 * ( 1/2 * e^(2t) + 2t - 1/2 * e^(-2t) ) =
1/4 * ( 1/2 * e^(2t) - 1/2 * e^(-2t) ) + 1/2 * t =
1/4 * ( (e^(2t) - e^(-2t)) / 2 ) + 1/2 * t =
1/4 * ( [(e^(t) - e^(-t)]*[(e^(t) + e^(-t)]) / 2 ) + 1/2 * t =

Jetzt einmal 1/2 in die Klammer ziehen, um zwei Brüche zu bekommen:
1/2 * ( [(e^(t) - e^(-t)] / 2 *[(e^(t) + e^(-t)]) / 2 ) + 1/2 * t =
1/2 * sinh(t) * cosh(t) +1/2 * t

Jetzt wieder resubstituieren:
1/2 * cosh(t) * sinh(t) + 1/2 * t =
1/2 * Wurzel(1+sinh²(t)) * sinh(t) + 1/2 * t =
1/2 * Wurzel(1+x²) * x + 1/2 * arcsinh(x)

Jetzt noch die Grenzen einsetzen und fertig !!!
Ich hoffe ich konnte helfen...
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