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Kurvendidkusion.allgemein.sattelpunkt
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Don_hueso
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Anmeldungsdatum: 27.11.2004
Beiträge: 56

BeitragVerfasst am: 03 Dez 2004 - 23:49:15    Titel: Kurvendidkusion.allgemein.sattelpunkt

Hi,
Hier zwei meiner Probleme (kein unbedingt dringender Fall Very Happy ):
Frage 1:

Bei irgendeiner Funktion:
Kann man, wenn die Steigung und die Krümmung in einem Punkt null sind, mit Sicherheit sagen, dass ein Sattelpunkt vorhanden ist, oder muss man noch etwas mit der dritten Ableitung überprüfen?

Frage 2:

Bei irgendeiner Funktion:
Man bekommt die Wendestellen ja, indem man die zweite Ableitung null setzt. Was bedeutet das, wenn man, beim Einsetzen in die dritte Ableitung, das Ergebnis null zurückgeliefert bekommt?

Vielen Dank
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2004 - 00:10:59    Titel:

zu Frage 2:
Hast Du da vielleicht ein Beispiel? Wendepunkte sind ja die Punkte mit einer lokal maximalen / minimalen Steigung, also Extrema in der 1. Ableitung. Wenn das aber Extrema sind, dann darf die 3. Ableitung nicht Null sein.

Eine Art Sattelpunkt (in der 1. Ableitung) würde man erhalten und damit Null in der 3. Ableitung, wenn die Steigung der Ausgangskurve zunächst zunimmt, dann kurz konstant ist und dann weiter zunimmt. Das müsste dann eine zusammengesetzte Funktion sein (z.B. Parabel, Gerade, Parabel), wobei die Kontaktpunkte der Funktionen die gleiche Steigung haben müssen, oder?
Gast







BeitragVerfasst am: 04 Dez 2004 - 01:36:06    Titel:

zu Frage 1:

Nein, du musst überprüfen, ob die 3. Ableitung ungleich Null ist. Denn nur dann hast du wirklich einen Sattelpunkt.
f'''(x) =/ 0 >> Sattelpunkt

zur Frage 2:
f'''(x) = 0 >> dann hast du doch einen Extremwert und keinen Sattelpunkt.

lg katja
MysticPhoenix
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Anmeldungsdatum: 03.12.2004
Beiträge: 15

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2004 - 07:14:04    Titel:

Im Prinzip muss du so lange Ableitungen bilden und deine Wert einsetzen, bis irgednwann mal nicht 0 herauskommt.

Beispielsweise ergibt bei f(X) = x^5 die dritte Ableitung f'''(X) = 60x^2, die für x = 0 auch 0 ergibt. Totzdem hat die Funktion einen Sattelpunkt.

f''''(X) = 120x (das spricht dann wieder für einen Sattelpunkt)

Aber erst durch f'''''(x) = 120, die dann ungleich 0 ist, ist die Existenz eines Sattelpunkts erwiesen.
Gast







BeitragVerfasst am: 04 Dez 2004 - 11:03:42    Titel:

Hi Thomas_Da,
ich hab leider kein Beispiel für das was ich meine. Ich hab mich nur gefragt, warum wir nach dem Ausrechnen möglicher Wendepunkte mit der zweiten Ableitung, das Ergebnis noch in die dritte eingeben und auf nicht gleich null prüfen. Auch hab ich mich gefragt, was das denn nun ist, wenn da mal gleich null raus käme.

Vielen dank für deine Bemühungen!!
Don_hueso
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Anmeldungsdatum: 27.11.2004
Beiträge: 56

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2004 - 11:07:11    Titel:

^ ich hatte aus versehen als Gast geschrieben Wink
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Don_hueso
Junior Member
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Junior Member


Anmeldungsdatum: 27.11.2004
Beiträge: 56

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2004 - 11:19:16    Titel:

Danke Leute,
mir ist schon einiges klarer geworden!
Ich frage mich nur noch, warum wir nach dem Ausrechnen möglicher Wendepunkte mit der zweiten Ableitung, das Ergebnis noch in die dritte eingeben und auf nicht gleich null prüfen. Auch frage ich mich, was das denn nun ist, wenn da mal gleich null raus käme.

Don hueso
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2004 - 00:57:40    Titel:

Don_hueso hat folgendes geschrieben:
Ich frage mich nur noch, warum wir nach dem Ausrechnen möglicher Wendepunkte mit der zweiten Ableitung, das Ergebnis noch in die dritte eingeben und auf nicht gleich null prüfen. Auch frage ich mich, was das denn nun ist, wenn da mal gleich null raus käme.

Das wird dann wieder eine Extremstelle sein, wie z.B. bei f(x) = x^4 in x = 0, wo auch die dritte Ableitung noch Null ist, die vierte aber nicht. Allgemein: Ist die n-te Ableitung noch Null, die (n+1)-te aber nicht, dann ist der Punkt ein Extrempunkt, wenn n ungerade ist und ein Sattelpunkt, wenn n gerade ist. Das kann man sich an den Monomen f(x) = x^n leicht klar machen und mittels Taylorschem Satz auf alle differenzierbaren Funktionen übertragen.
Don_hueso
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Anmeldungsdatum: 27.11.2004
Beiträge: 56

BeitragVerfasst am: 10 Dez 2004 - 17:44:19    Titel:

Dankeschön!!!
Ich versteh die Hintergründe langsam immer besser!!

Jochen
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