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K-Vektorraum
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Gast4
Gast






BeitragVerfasst am: 04 Dez 2004 - 02:41:21    Titel: K-Vektorraum

Kann mir jemand helfen?

Komme nicht klar bei dieser Aufgabe..

Es sei K = {0,1} der Körper mit folgenden Verknüpfungen:

+ | 0 1
---------
0 | 0 1
1 | 1 0

* | 0 1
--------
0 | 0 0
1 | 0 1

Eine Menge wird definiert durch

V = {v = v1,v2,v3) : vi E K , i = 1,2,3}.

(a) Bestimmen Sie alle Elemente von K.
(b) Zeigen Sie, dass V ein K-Vektorraum ist.
(c) Geben Sie zwei Unterräume von V an, die jeweils 4 Elemente haben.

Wäre für jede hilfe sehr dankbar!!!
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 04 Dez 2004 - 11:14:17    Titel:

(a) Es gibt 8 Elemente, die z.B. dadurch bestimmt werden können, dass man die Zahlen 0..7 in binärer Form aufzählt:
(0,0,0)
(0,0,1)
(0,1,0)
(0,1,1)
(1,0,0)
(1,0,1)
(1,1,0)
(1,1,1)

(b) Axiome eines VR's sind zu prüfen. Das mache ich aber nicht hier, weil es einfach zu viel ist. Z.B. abgeschlossenheit:

Sei a, b in V. Dann ist auch a + b in V:

a = (a_1,a_2,a_3) b = (b_1,b_2,b_3)

a + b = (a_1 + b_1, a_2+b_2,a_3+b_3) = (wegen K körper und Def. von V) in V

usw.

(c)

{(0,0,0)
(0,0,1)
(0,1,0)
(0,1,1)}

und

{(0,0,0)
(0,1,1)
(1,0,1)
(1,1,0)}

Zu zeigen ist lediglich, dass die Abgeschlossenheit nicht verletzt ist. Das geht über eine Wertetabelle.
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