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Rechenregeln Beweis (ANA 1)
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Gast-4
Gast






BeitragVerfasst am: 05 Dez 2004 - 15:05:00    Titel: Rechenregeln Beweis (ANA 1)

Kann mir hier jemand helfen?

1)
für alle a,b E R \{0} und für alle m,n E Z

a^m,a^n = a^(m+n),

a^m*b^m = (a b)^m,

(a^m)^n = a^(m*n).

2)
Man zeige: für jede natürliche Zahl n ╪ 3 gilt: n^2 <= 2^n

3)
Man beweise: Für jede reelle Zahl b > 1 und jede reelle Zahl a gibt es n E N sodaß b^n > a.
Gast-4
Gast






BeitragVerfasst am: 05 Dez 2004 - 21:20:00    Titel:

kann denn wirklich überhaupt keiner helfen???
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 05 Dez 2004 - 21:54:50    Titel:

zu 1.)
a^m * a^n = (a*a* ... *a)*(a*a* ... *a) = (a*a* ... *a) =a^(m+n)

a^m*b^m = (a*a* ... *a)*(b*b* ... *b) = (ab)*(ab)* ... *(ab) = (ab)^m

(a^m)^n = (a*a* ... *a)^n = (a*a* ... *a)*(a*a* ... *a)* ... *(a*a* ... *a) = a^(m*n)



zu 2.)
n=1
1^2 = 1 < 2 = 2^1
n=2
2^2 = 4 = 4 = 2^2

n=4
4^2 = 16 = 16 = 2^4
n=5
5^2 = 25 < 32 = 2^5

Das es auch für n>5 gilt ist durch vollst. Induktion zu zeigen:
(n+1)^2 <= 2^(n+1)
(n+1)*(n+1) <= 2^n *2
(n+1)*n + (n+1) <= 2^n *2
n*n + n + (n+1) <= 2^n *2
n² + (2n+1) <= 2^n + 2^n

Mit n² <= 2^n ist nun lediglich zu zeigen:
(2n+1) <= 2^n


Durch Einsetzen sieht man, dass diese Ungleichung für n=5 und n=6 erfüllt wird.
Vollständige Induktion für diese neue Ungleichung ergibt:
(2(n+1)+1) <= 2^(n+1)
(2n+1) + 2 <= 2^n * 2
(2n+1) + 2 <= 2^n + 2^n

Mit (2n+1) <= 2^n ist nun lediglich zu zeigen:
2 <= 2^n und dies gilt für alle n > 0



zu 3.)
Dafür gibt es sicherlich viele Beweise:
b = 1 + c
Wenn mit vollst. Induktion gezeigt werden kann, dass
b^n = (1+c)^n > 1 + n*c
dann gilt
b^n > 1+ n*c > a
für n = (a-1)/c = Aufrunden[(a-1)/(b-1)]


Zuletzt bearbeitet von Thomas_Da am 05 Dez 2004 - 22:41:12, insgesamt einmal bearbeitet
Gast-4
Gast






BeitragVerfasst am: 05 Dez 2004 - 22:29:57    Titel:

Vielen Dank für deine Hilfe !! Smile
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