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geometrische Folgen
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> geometrische Folgen
 
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Gast







BeitragVerfasst am: 07 Dez 2004 - 10:56:36    Titel: geometrische Folgen

Ich bin schon etwas aus der Übung und hab deshalb ein paar Thesen, bei denen ich gern wüsste ob sie stimmen:

1. geom. Folgen sind immer streng monoton, da ja Bedingung ist, dass q immer gleich ist.

2. nur unendliche geometrische, streng mon. fallende Folgen haben einen Grenzwert und der ist immer g=0?

3. geom. alternierende Folgen sind wenn sie unendlich sind unbeschränkt


Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand ein paar tipps dazu geben könnte, Danke.
jabejc
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Anmeldungsdatum: 06.12.2004
Beiträge: 25

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2004 - 12:08:57    Titel: ok zu 1.

also wenn ich in der Annahme richtig gehe dann ist eine geometrische Folge wenn

an+1/an = q ist. d.h. wenn der Quotient q zweier aufeinanderfolger Glieder konstant ist.
Surprised oder???

und die Folge ist streng monoton wachsend wenn an+1>an und umgekehrt streng monoton falllend.
Gast







BeitragVerfasst am: 07 Dez 2004 - 12:39:17    Titel:

ja genau so, denke ich. Und deshalb ist es meiner Meinung nach unmöglich, dass geometrische Folgen "nur" entweder monoton fallend oder wachsend sind (also nicht an+1<=/>an, sondern nur an+1>/<an), oder? Das würde ja eben dieses "streng" bei der Monotonie bedeuten.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2004 - 14:01:27    Titel:

a) Obige Definition einer geometrichen Folge ist ein wenig ungeschickt. Definitert man eine geometrische Folge (wie es üblich ist) durch

a_(n+1) = q a_n

wobei weder an der Startwert, noch an q Beschränkungen existieren, so gibt es auch konstante bzw. schliesslich konstante Folgen.

Und nich eine Bemerkung: Du meinst wohl in R oder Q mit üblicher Ordnung. Sonst stimmt hinten und vorne alles nicht. Smile

b) Nach obiger Definition ist b) ebenfalls falsch

c) Auch fallsch. a_n = -1/2 * a_(n-1) a_0 = 1. Definitert rekursiv die Folge 1, -1/2, 1/4,-1/8 ... Konvergent und beschränkt.

Übrigens "endliche" Folgen gibt es nicht. Jede Folge ist eine Funktion von N nach was auch immer was und hat somit "unendlich" viele Glieder.


Zuletzt bearbeitet von algebrafreak am 07 Dez 2004 - 14:05:31, insgesamt einmal bearbeitet
Gast







BeitragVerfasst am: 07 Dez 2004 - 14:05:20    Titel:

ja stimmt die konstanten hab ich vergessen zu erwähnen. Wisst ihr was mit den anderen "Thesen" ist?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 07 Dez 2004 - 14:05:55    Titel:

Sorry. Du warst schneller. Reread Smile
Gast







BeitragVerfasst am: 08 Dez 2004 - 10:34:32    Titel:

erst mal vielen Dank für deine Antworten. Ich hätte da aber doch noch ne Frage: was bedeutet "in R oder Q mit üblicher Ordnung"?

Du hast ja mit dem Beispiel eine alternierende Folge mit 0<|q|<1 gewählt, oder? Somit schlussfolgere ich dennoch, dass zumindest streng monoton wachsende geometrische Folgen divergent sind, oder doch nicht?

Und noch eine (wahrscheinlich umfangreiche) Frage: welche Zusammenhänge bestehen zwischen Beschränktheit und Grenzwert. Also bei Beschränktheit komme ich ja noch mit, aber beim Grenzwert fehlt mir irgendwie der letzte Funke, der zum Aha-Effekt führt. Was bedeutet diese größte untere Schranke (oder wars die kleinste obere?) Question [/quote]
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 09 Dez 2004 - 09:22:56    Titel:

Zitat:
was bedeutet "in R oder Q mit üblicher Ordnung"?


Abstand und Ordnung sind abstrakte Begriffe und hängen von der Betrachtungsweise ab. Das ist wohl das allererste, was man an der Uni lernt in Analysis oder so. Es gibt Strukturen, für die es gar keinen Abstandsbegriff gibt (das lernt man etwas später jedoch Smile ). Du kannst Abstand auf so perverse Arten definieren, dass oben nur Müll rauskommt (Stichwort: "diskrete Metrik" bzw. Abzählbarkeitsaxiome, da ist es gar mit den Folgen und Grenzwerten, da der Begriff "Grenzwert" nicht mehr eindeutig ist). Weiterhin gibt es Strukturen, z.B. {0,1} mit der diskreten Metrik drauf in denen jede geometrische Reihe konvergiert, denn die ist schliesslich entweder konstant 0 oder 1. Genau so geht es mit der Ordnung.


Zitat:
Du hast ja mit dem Beispiel eine alternierende Folge mit 0<|q|<1 gewählt, oder? Somit schlussfolgere ich dennoch, dass zumindest streng monoton wachsende geometrische Folgen divergent sind, oder doch nicht?


Du kannst zeigen, dass geom. Folgen mit |q| > 1 unbeschränkt wachsen. Dazu müssen sie aber nicht monoton sein. Der Trick dabei ist es die Beträge der Glieder zu betrachten:

Beh: Sei a_0 in R \ {0} und |r| > 1. Dann ist die Rekursiv definierte Folge a_n = q a_(n-1) (für n > 0) unbeschränkt.

Beweis: Betrachte a_n und a_(n-1). Dann |a_n| = |qa_(n-1)| = |q||a_(n-1)| wegen |q| > 1 folgt dann |a_n| > |a_(n-1). D.h. die Folge der Beträge steigt monoton und somit ist die Folge selbst unbeschränkt.

Viel einfacher ist es einzusehen, indem man die Rekursion auflöst:

Beh: Sei a_0 in R \ {0} und |r| > 1. Dann ist die Rekursiv definierte Folge a_n = q a_(n-1). Dann ist die Folge a_n definiert mit a_n = q^n a_0 (n>0)

Beweis: Induktion nach n. Für n=0 ist a_n klar. Für n=1: a_1 = q^1 *a_0 passt. Für n gilt die Sache. Dann a_(n+1) = q a_n = q q^n a_n = q^(n+1) a_n. Passt.

Somit hat man auch alle eigenschaften.

Zitat:
Und noch eine (wahrscheinlich umfangreiche) Frage: welche Zusammenhänge bestehen zwischen Beschränktheit und Grenzwert. Also bei Beschränktheit komme ich ja noch mit, aber beim Grenzwert fehlt mir irgendwie der letzte Funke, der zum Aha-Effekt führt. Was bedeutet diese größte untere Schranke (oder wars die kleinste obere?)


Konvergent in R -> Beschränkt
Unbeschränkt -> divergent in R^~ (Vorsicht kann auch unbestimmt dievergieren)
Für jedes R > 0 gibt es ein n mit für alle m > n gilt a_n > R -> bestimmt divergent in R^~ gegen unendlich
Für jedes R > 0 gibt es ein n mit für alle m > n gilt a_n < -R -> bestimmt divergent in R^~
gegen -unendlich

In der Definition vom Grenzwert steht normal nichts von ober und unterschranken. Ausserhalb jeder Umgebung um G.W. befinden sich nur endlich viele Punkte. Das reicht.
Craven
Newbie
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Newbie


Anmeldungsdatum: 09.08.2005
Beiträge: 1

BeitragVerfasst am: 09 Aug 2005 - 19:24:46    Titel:

Hm... hallo... bin zwar "noch" Schüler (der 12. Klasse) und kein Student, habe jedoch bei der Suche nach Lösungsansätzen für meine Hausaufgaben dieses Board hier entdeckt.
Auch wenn die kurze Vorstellung meinerseits hin nicht hingehört, hoffe ich, dass dieses bereits ältere Thema nochmal aufgegriffen wird und mir jemand helfen könnte.

Gegeben seien die Glieder der Folge (an):
a5=5/80 und
a11=12/5

Gesucht ist q, Die Bildungsvorschrift und die ersten drei Glieder der Folge.

Würde mich über Hilfe freuen...

THX schonmal im vorraus
Averell
Junior Member
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Junior Member


Anmeldungsdatum: 31.07.2005
Beiträge: 77

BeitragVerfasst am: 09 Aug 2005 - 19:40:58    Titel: Tipps

Hallo Craven!


Wie lautet denn die allgemeine Formel für geometrische Folgen? a_n = a_1 * q^(n-1)


Das wenden wir jetzt mal an auf a_5 und a_11:

a_5 = a_1*q^4 = 5/80

a_11 = a_1*q^10 = 12/5


Wenn Du nun rechnest a_11/a_5 (bzw. beide Gleichungen miteinander dividierst), kürzt sich Dein a_1 heraus und Du hast eine Gleichung mit einer Unbekannten q.

Anschließend kannst Du dann den Rest berechnen.


Averell
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