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Koordinatenwechsel
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Daniel H
Gast






BeitragVerfasst am: 07 Dez 2004 - 16:32:32    Titel: Koordinatenwechsel

Hallo,
ich tu mir wirklich schwer bei dem Stoffgebiet
und weiß nicht, wen ich sonst noch fragen soll!
Also Seien V;W Vektorräume über R B=(b_1,b_2,b_3) (alte Basis),
B^~=(b^~_1,b^~_2,b^~_3) (neue Basis), C=(c_1,c_2)(alte Basis) und
C^~=(c^~_1,c^~_2) (neue Basis) je Basen von V bzw. W.

Gegeben sind <B^~*,B>=1 1 1
0 1 1
0 1 1
das sind soweit ich das verstanden habe die Koordinaten von B bezüglich dee
neuen Basis B^~

und <C*,C^~>= 1/2 -1/2
1/2 1/2

was dann die Koordinaten der neuen Basis bez. der alten Basis C sind.
und <C^~*,f(B^~)>= 2 4 2
1 -1 0
das sind die Koordinaten vom Bild der neuen Basis unter f bez. der neuen
Basis von W.

Gesucht ist jetzt <B*,B^~> (koo. der neuen Basis bez. der alten),<C^~*,C>
(Koo. der alten Basis bez. der neuen) und dann <C*,f(B)> (die Koo. der
Bilder der alten Basis B bez. der alten Basis C).

<B*,B^~> = (<B^~*,B>)^(-1) = 1 -1 0
0 1 -1
0 0 1

<C^~*,C>=(<C*,C^~>)^(-1)= 1 1
-1 1
und zu Guter letzt:

<C*,f(B)>= 1/2 3 4
3/2 3 4

Ich habe nicht geschrieben wie ich darauf komme, falls das fehlt, dann poste
ich es noch, aber ich dachte ihr werdet es alle ohnehin wissen!

Beim nächsten Aufgabenteil stecke ich aber leider wieder:
Eine Linearform a* aus W* ist gegeben durch <a*,C>=(3,1).
Ermittle (a*,C^~) und <(f^T(a*),B>.

Ich habe so begonnen, aber ich komme nicht weiter bzw. bin mir nicht sicher,
ob ich mich hier nicht irre:
nach
<C^~*,C>=1 1
-1 1

gilt doch: c^~*_1=c*_1+c*_2
c^~*_2=-c*_1+c*_2

kann ich sagen: c*_1=3 c*_2=1
also: c^~*_1=4 und c^~*_2=-2 --> (a*,C^~) = (4,-2)

Zum 2. Teil habe ich überhaupt keine Idee...ich weiß nicht weiter,
verzweifle an dem Stoffgebiet und hoffe wirklich sehr, dass es jemanden gibt
der die Geduld findet und mir aus der Klemme hilft...danke, Danny!
Anni03
Gast






BeitragVerfasst am: 07 Dez 2004 - 18:56:00    Titel:

Tja, leider verwendet Ihr in Eurer Vorlesung völlig andere Begriffe als wir, deshalb ist es äußerst mühselig für mich, in Deinen Erläuterungen durchzublicken.

Was ich zumindest sagen kann (sofern ich alle Begriffe richtig interpretiert habe), ist, daß der erste Teil mit den Basistrafos. richtig ist.

Außer ein (wahrscheinlich) Tippfehler bei <B^~*,B>:
1 1 1
0 1 1
0 0 1

Eine Frage hab ich aber noch dazu: Stehen die Koordinaten in den Spalten oder in den Zeilen?
d.h. ist c^~_1=c_1+c_2 oder c_1-c_2 ?

Zu dem 2. Teil müßtest Du mir die verwendeten Begriffe erklären, bevor ich da helfen kann. Ist W* der Dualraum, und was genau bedeutet
<a*,C> oder <(f^T(a*),B)?
Ist f^T die transponierte Abbildung zu f?
Daniel H.
Gast






BeitragVerfasst am: 07 Dez 2004 - 19:40:52    Titel:

Super, dass du mir hilfst...danke!


Zitat:
Außer ein (wahrscheinlich) Tippfehler bei <B^~*,B>:



Genau...so ist es richtig!

Zitat:

Stehen die Koordinaten in den Spalten oder in den Zeilen?
d.h. ist c^~_1=c_1+c_2 oder c_1-c_2 ?

Sie stehen in den Zeielen, also es ist
c^~_1=c_1+c_2
c^~_2=-c_1+c_2


Zitat:
Ist W* der Dualraum, und was genau bedeutet
<a*,C> oder <(f^T(a*),B)?



Ja W* ist der Dualraum und <a*,C>=(<a*,c_1>,<a*c_2>)=(a_1,a_2)

Wenn C die Basis von W ist, so wird die von den Koordinatenformen (c*_i)ieI gebildete Basis C* von W* die zu C duale Basis genannt. Bei gegebener Basis C sind für jede Linearform wegen:

<a*,C>=(<a*,c_1>,<a*c_2>)=(a_1,a_2)

die KOeffizienten in der Koordinatenmatrix <a*,C> genau die Koordinaten von a bezüglich der dualen Basis. (treten im Zeilenvektor auf!).



Zitat:
<(f^T(a*),B)?
Ist f^T die transponierte Abbildung zu f


Ich hoffe, das hilft dir um die von mir verwendeten Begriffe zu verstehen, nochmal danke für dein Mühe, lg Danny.[/code]
Anni03
Gast






BeitragVerfasst am: 07 Dez 2004 - 20:16:32    Titel:

Ok, alles ohne Garantie, denn die Bezeichnungen sind mir immer noch suspekt.

Aber, <a*,C^~) würde ich auch so ausrechnen wie Du.

Du hast immer noch nicht gesagt, was f^T(a*) ist.
Unter Annahme, daß das die zu f transponierte Abbildung ist, würde gelten:

<f^T(a*),B>=<a*,f(B)>

Du hast ja bereits <C*,f(B)> berechnet.

f(b_1) bzgl. C ist 1/2 und 3/2, also f(b_1)=c_1/2+3/2c_2
a*(f(b_1))=a*(c_1/2+3/2c_2)=1/2[a*(c_1)+3a*(c_2)]=1/2[3+3]=3

f(b_2) und f(b_3) analog

also <f^T(a*),B>=<a*,f(B)>=(3,12,16)=<a*,C> mal <C*,f(B)>
Daniel H.
Gast






BeitragVerfasst am: 08 Dez 2004 - 13:42:30    Titel:

Vielen Dank für deine Hilfe, sie hat mir wirklich sehr viel gebracht.

Jetzt habe ich aber noch zwei Fragen, der 2. Punkt den du gemacht hast der ist mir klar, aber danach ist doch mein 1. Punkt falsch, denn würde ich es so machen wie du, beläme ich etwas völlig anderes heraus:

<C^~*,C>=(<C*,C^~>)^(-1)=
1 1
-1 1

das heißt c_1=c^~_1-c^~_2 und c_2=c^~_1+c^~_2
(a*(c_1))=(a*(c^~_1-c^~_2))=(a*(c^~_1)-(a*(c^~_2))=3
a*(c_2)=(a*(c^~_1+c^~_2)=(a*(c^~_1)+a*(c^~_2)=1

also ist (a*(c^~_1))=2 und (a*(c^~_2)=-1

ist das jetzt so richtig...das habe ich nämlich jetzt genau so gelöst, wie du den anderen Teil!?

Und dann noch eine letzte Frage:
Warum gilt:

Zitat:
<f^T(a*),B>=<a*,f(B)>
??

Sonst ist alles klar und ich danke dir noch mal für deine Hilfe, eine andere Bsp. würden dadurch klarer!! Lg Danny
Daniel H.
Gast






BeitragVerfasst am: 10 Dez 2004 - 10:03:59    Titel:

Könnte bitte noch jemand so nett sein und mir die beiden Fragen beantworten...das wäre echt toll! Danke und lg danny.
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