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Wendestelle gesucht
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Cat_Toaster
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Anmeldungsdatum: 02.02.2007
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 02 Feb 2007 - 17:20:45    Titel: Wendestelle gesucht

Servus,

ich bin gerade dabei folgende Funktion zu Diskutieren.

f(x)=e^-(x²)

die Ableitungen dafür lauten

f'(x)=-2x * e^-(x²)
f''(x)=-2 * e^-(x²) + 4x² e^-(x²)
f'''(x)=12x * e^-(x²) - 8x³ * e^-(x²)

Der Definitionsbereich ist R, die Funktion ist Achsensymetrisch, sie hat keine Nullstelle da ln(0) nicht definiert ist und der Schnittpunkt mit der Y-Achse liegt bei 1. Für die Grenzwerte geht sie jeweils gegen 0. Ihre Maximalstelle liegt bei x=0 und sie besitzt keine Sattelstelle. Soweit habe ich wohl alles richtig, jetzt fehlen mir noch Wendestelle und das Krümmungsverhalten.

Für die Wendestelle gilt es die zweite Ableitung = 0 zu setzten und x zu bestimmen. Und da ist mein Problem. Ich rechne wie folgt.

0 = -2 * e^-(x²) + 4x² * e^-(x²)
2 * e^-(x²) = 4x² * e^-(x²)
e^-(x²) = 2x² * e^-(x²)
-(x2)=ln(2x²) * -(x²)

das geht auf wenn der ln = 1 wird, denn dann steht da soviel wie -x²=-x².
also gerechnet

ln(2x²)=1
2x²=e^1
x²=(e^1)/2
x=sqrt((e^1/2))

oder x=1,1658....

Leider passt dieser x Wert nicht. Setze ich diesen jetzt in die zweite Ableitung ein erhalte ich etwa 0,88. Ein gezeichneter Graph der zweiten Ableitung zeigt mir auch, daß x irgendwo zwischen 0,7 und 0,725 liegen müsste. Jeweils + und - seitig. Also wo zur Hölle ist mein Denkfehler. Ich fürchte ich habe mich total verrant und sehe den passenden Lösungsweg momentan einfach nicht. Wer zeigt mir den richtigen Weg?

Grüße Chris
Cat_Toaster
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Anmeldungsdatum: 02.02.2007
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 02 Feb 2007 - 17:26:06    Titel:

Ok, hat sich schon erledigt. Manchmal muss man nur ein wenig Abstand kriegen und sieht dann einen neuen Weg.

Hier die Lösung:

f''(x)=0


0 = -2 * e^-(x²) + 4x² * e^-(x²)
0 = (-2 + 4x²) * e^-(x²) <= Lösung wenn Klammer = 0 wird

0 = -2 + 4x²
2 = 4x²
1/2 = x²

x = sqrt(0,5)

x1= 0,7071 und x2 =- 0,7071

Test auf Richtigkeit

0 = -2 * e^-(sqrt(0,5)²) + 4 * sqrt(0,5)² * e^-(sqrt(0,5)²)
0 = -2 * e^-(0,5) + 2 * e^-(0,5)
0 = 0
q.e.d.
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