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schnitt
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Anmeldungsdatum: 24.05.2005
Beiträge: 277

BeitragVerfasst am: 06 Feb 2007 - 10:23:04    Titel: Integrieren

hallo zusammen...
schreibe nächste woche meine mathe lk vorabi-klausur und habe eine frage zu einer übungsaufgabe die wir bekommen haben!

f(x)=15/(1+e^(-0,2x))

die ableitungen waren kein problem (Rezirpokenregel), nur die integration macht mir probleme

aufg.: Die gerade hMad=10 begerenz mit den koordinatenachsen und dem Graph von f(x) ein Fläche A

Ansatz:
habe zunächst f(x)=10 berechnet und komme dabei auf 10,397 bzw -5*ln0,125
d.h die gesuchte fläche wäre (10*10,397)=fläche des gesamten rechtecks - dem Integral von 0-10,397 von f(x)

vermute, dass ich die substitution verwenden muss aber ich weiß leider überhaupt nicht wie ich vorgehen muss...wäre nett wenn mir jemand auf die sprünge helfen könnte
Peneli
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Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223

BeitragVerfasst am: 06 Feb 2007 - 11:26:29    Titel: Re: Integrieren

Integration von 15/(1+e^(-0,2x)):

Substituiere z:=e^(-0,2x).
Dann hast Du: -75*int[1/(z*(1+z))]dz.
Mit Partialbruchzerlegung kriegst Du dann 1/(z*(1+z))=1/z-1/(1+z) und kannst alles leicht integrieren.

Mein Ergebnis: -75*ln[e^(-0,2x)/(1+e^(-0,2x))]+c.
dafish
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Anmeldungsdatum: 16.02.2006
Beiträge: 171

BeitragVerfasst am: 06 Feb 2007 - 11:54:20    Titel:

Moin.
Hm, wenn ich integriere kommt raus:
F(x) = 75*ln(1+exp(1/5*x))

Hab's auch über Substitution gemacht.
Peneli
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Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223

BeitragVerfasst am: 06 Feb 2007 - 12:10:24    Titel:

Das ist doch dasselbe: Form mein Ergebnis einfach mal mit Logarithmus- und Potenzgesetzen um. Dann kommt Deins raus. Ist in der Tat schicker. Wink
dafish
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Anmeldungsdatum: 16.02.2006
Beiträge: 171

BeitragVerfasst am: 06 Feb 2007 - 12:11:44    Titel:

Stimmt, hast Recht!
Noch zu früh um so viel rumzurechnen Wink
schnitt
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Anmeldungsdatum: 24.05.2005
Beiträge: 277

BeitragVerfasst am: 06 Feb 2007 - 18:25:42    Titel:

okay dass ich e^-0,2x=z setze verstehe ich
aber wie komme ich von der 15 auf -75?
beiu der substitution klappt es bei mir noch nicht so gut!
Peneli
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Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223

BeitragVerfasst am: 06 Feb 2007 - 19:40:03    Titel:

z:=e^(-0,2x). => dz/dx=-0,2e^(-0,2x). => dx=dz/(-0,2e^(-0,2x))=dz/(-0,2z).
=> int[15/(1+e^(-0,2x))]dx = int[15/(1+z)*1/(-0,2z)]dz = -75*int[1/(z*(1+z))]dz.
schnitt
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Anmeldungsdatum: 24.05.2005
Beiträge: 277

BeitragVerfasst am: 08 Feb 2007 - 11:02:16    Titel:

so wir haben die aufgabe heute besprochen und es hat sich heraus gestellt , dass ich ne etwas falsche aufgabe hier herein gestellt habe...wir sollen die fläche zwischen den koordinatenachsen x=10 und er funktion f(x)=15/(1+4*e^(-0,2x) bestimmen
unser lehrr hat gesagt dass wir den wert nur näherungsweise bstimmen können (Kepllersche fassregel), da man diese Funktion nicht integrieren kann...kann das sein, kann es mir nämlich nicht vorstellen da ich ja nur die 4* vergessen habe
wäre nett wenn sich das nochmal jemand angucken könnte
danke!
Peneli
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Anmeldungsdatum: 08.06.2006
Beiträge: 2223

BeitragVerfasst am: 08 Feb 2007 - 16:37:24    Titel:

Müsste genauso funktionieren:
z:=e^(-0,2x). => dz/dx=-0,2e^(-0,2x). => dx=dz/(-0,2e^(-0,2x))=dz/(-0,2z).
=> int[15/(1+4e^(-0,2x))]dx = int[15/(1+4z)*1/(-0,2z)]dz = -75*int[1/(z*(1+4z))]dz.
Partialbruchzerlegung bringt:
= -75*{int[1/z]dz+int[-4/(1+4z)]dz}.
Und dann ganz normal weiter. Sehe da keine Schwierigkeit.
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