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Konvergenz der Wurzelnäherung
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nafets
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Anmeldungsdatum: 09.12.2004
Beiträge: 20

BeitragVerfasst am: 09 Dez 2004 - 12:01:06    Titel: Konvergenz der Wurzelnäherung

Hallo,

ich habe folgende rekursive Vorschrift:

x[0] = 1
x[n+1] = .5(x[n] + 2/x[n]).

x[n] steht für Folgenglied n

Diese Folge konvergiert gegen sqrt(2), wie ich aus der Info-Vorlesung weiß (nur den Wert, keinen Beweis). Wie kann ich aber nachweisen, dass durch diese Folge auf Q eine Cauchy-Folge definiert wird?

Danke im Voraus,

nafets
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 09 Dez 2004 - 15:31:51    Titel:

Es ist eine konvergente Folge in R. Daher ist die in R eine Cauchy-Folge. Jetzt ist jedes x[n] aus Q. Da die Metrik auf Q die Teilraummetrik von Q in R (bzw. die Ordnungstoplogie auf Q die Spurtopologie von der Ordnungstoplogie in R bzgl. Q ist) ist die Folge auch in Q bzg. der Teilraummetrik eine Cauchy-Folge.
Pornoralle
Gast






BeitragVerfasst am: 09 Dez 2004 - 23:11:20    Titel: wie?

gibts das auch in ausführlicherer Fassung?
Da blicken wir nich so ganz durch...
und, wie zeigt man denn, dass die konvergent ist?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 10 Dez 2004 - 14:26:13    Titel:

Das ist bis auf die Sätze, die man z.B. in Querenburg (Mengentheoretische Topologie) nachlesen kann, die ausführlichste Fassung Smile

Ich versuch das mal anders. Der Witz ist einfach, dass die gewöhnliche Metrik von Q (nämlich die Abs.Betragsmetrik d(x,y) = |x-y|), die hier wohl vorausgesetzt ist, genau mit der Metrik auf der Bildmenge der kanonischen Einbettung von Q in R übereinstimmt. Einfach gesagt:

|x-y|_Q = d(x,y) = d'(i(x),i(y)) = |i(x)-i(y)|_R (*)

wobei d die gew. Metrik auf Q und d' die gew. Metrik auf R ist und i die Einbettung von Q in R ist.

Das oben braucht man für den folgenden Trick: Man definiert die Folge einfach in R. Das verbietet ja keiner, denn die Rekursionsvorschrift bleibt die selbe. Jetzt ist die Folge in R ja eine Cauchy-Folge, da die gegen sqrt(2) konvergiert, was Ihr angenommen habt. Und jetzt nutzt man die Tatsache, dass die Bilder der kanonischen Einbettung i der Folgenglieder in Q genau den Folgengliedern von R entsprechen und umgekehrt. Aber die Abstandseigenschaften sind wegen (*) die selben. Daher ist die Folge auch in Q eine Cauchy-Folge.

Aber das alles ist nicht die Lösung, sondern eine Interpretation davon. Die Lösung ist trivial und steht oben.

Zitat:
wie zeigt man denn, dass die konvergent ist?


Du hast doch geschrieben, dass Du es schon weisst... Abgesehen davon konvergiert die Folge nicht in Q: Der Grenzwert ist im Falle der Kvz. ein Fixpunkt der erzeugenden Funktion. Daher

x = 1/2(x + 2/x)
2x = x + 2/x
x = 2/x
x^2 = 2

D.h. wenn die Folge konvergiert, dann gegen -sqrt(2) oder sqrt(2). Also defiitiv nicht in Q
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