Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

Grenzwert y = x³ an der Stelle x0 = -1
Gehe zu Seite 1, 2  Weiter
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Grenzwert y = x³ an der Stelle x0 = -1
 
Autor Nachricht
Pity
Gast






BeitragVerfasst am: 10 Dez 2004 - 09:59:35    Titel: Grenzwert y = x³ an der Stelle x0 = -1

Hallo zusammen, habe folgendes Problem.

Ich soll den Grenzwert für y=x^3 an der Stelle x0=-1 ausrechnen, und zwar mit der x-Methode.
Mir ist klar, dass f'(-1)=3 sein muss. Wie aber zerlege ich x^3 so, dass ich damit weiterrechnen kann Question
Das aufstellen der x-Methode ist mir bekannt, es geht lediglich um das x^3.

Danke schon mal im Voraus...
Pity
Gast






BeitragVerfasst am: 10 Dez 2004 - 10:39:26    Titel:

Ich habe mich wohl nicht korrekt ausgedrückt.
Natürlich ist hier nach der Steigung m gesucht mit Hilfe der x Methode.
wild_and_cool
Moderator
Benutzer-Profile anzeigen
Moderator


Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 10 Dez 2004 - 12:18:56    Titel:

Ich nehme mal an, das Du die Steigung über den sogenannten Differenzenquotienten bestimmen sollst !!!

limes[x-->x0]( (f(x) - f(x0)) / (x-x0) )

Das für f(x)=x³

limes[x-->-1]( (x³ - (-1)) / (x-(-1)) ) = limes[x-->-1]( (x³ + 1) / (x+1) )

Zitat:
Das aufstellen der x-Methode ist mir bekannt, es geht lediglich um das x^3.


Das müstest Du dann ja noch haben, oder ???

Und was ist jetzt mit x³ ???

Das versteh ich jetzt nicht...
Hier gibt es jetzt die Möglichkeit mit L'Hospial weiter zu rechen...
Pity
Gast






BeitragVerfasst am: 10 Dez 2004 - 13:07:53    Titel:

Die Berechnung soll mitels des Differenzenquotienten bestimmt werden.
Aber ich weiß nach
limes[x-->-1]( (x³ + 1) / (x+1) ) nicht mehr weiter.

Ich helfe dem Sohn eines Bekannten, der zur Zeit die x-Methode (Differenzenquotient) in Mathe durchnimmt.
Da meine Schulzeit schon ein paar Jährchen zurückliegt und ich selber diese x-Methode nie gelernt habe, muss ich die mir jetzt notgedrungenermaßen draufziehen. Andere Aufgaben habe ich selber gelöst, aber bei dieser Aufgabe weiß ich nicht weiter. Es soll doch der Nenner möglichst verschwinden??? Also wie bewerkstellige ich das hier?
Es geht mir auch nicht um die Lösung, sondern um den Ansatz (wobei die Lösung natürlich nicht schlecht wäre, oder wenigstens das Ergebnis Cool ).
Bei quadratischen Fkt. half mir bis jetzt immer die 3. Bin Formel weiter, um den Nenner soweit zu eliminieren, dass ich ein richtiges Ergebnis bekommen habe. Das kann man ja leicht prüfen mit der 1. Ableitung. Aber bei dieser Aufgabe habe ich echt ein Brett vor dem Kopf.
wild_and_cool
Moderator
Benutzer-Profile anzeigen
Moderator


Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 10 Dez 2004 - 13:23:27    Titel:

In diesem Fall ist das etwas spezielles:

Denn wenn man für x mal -1 einsetzt sieht man, das da [0/0] steht...
Das ist ein Hinweis für die Regel von L'Hospital:
Diese besagt, das man in so einem Fall den Zähler und den Nenner getrennt

limes[x-->-1]( (x³ + 1) / (x+1) ) -->
Zähler abgeleitet --> (x³+1)' = 3x²
Nenner abgeleitet --> (x+1)' = 1

Jetzt wieder eingesetzt:
limes[x-->-1]( (x³ + 1) / (x+1) ) = limes[x-->-1]( (3x²) / 1 )

Setzt man nun wieder für x die -1 ein:
limes[x-->-1]( (3x²) / 1 ) = 3...

Jetzt ist nur die Frage, ob das so ausreichend ist,
da wir ja in der Hinführung auf die Ableitung eine Ableitung
bzw. eine Regel verwendet haben...
Thomas_Da
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 10 Dez 2004 - 13:31:05    Titel:

Man kann ja mal versuchen aus dem Zähler (x³ + 1) den Nenner (x+1) auszuklammern. Ausser (x+1) kann im Zähler dann lediglich ein Term 2. Ordnung auftreten. Der Vorfakror a vor dem x und die Konstante b sind noch nicht bekannt. Der Vorfaktor vor x² muss 1 sein, da Vorfaktor*x²*x = x³ sein muss.

(x+1)*(x² + ax + b)
nach Ausmultiplizieren erhalten wir
(x³ + (a+1)*x² + (b+a)*x + b)

Mit einem Kooeffizientenvergleich, also
[Ausgangszähler <=> Ausmultiplizierter Zähler]
1 mal x³ gleich 1 mal x³
0 mal x² gleich (a+1) mal x²
0 mal x gleich (b+a) mal x
1 gleich b

erhalten wir
b=1
a=-1
und
(x+1)*(x² - x + 1)

Damit ist
limes[x-->-1]( (x³ + 1) / (x+1) )
= limes[x-->-1]( (x+1)*(x² - x + 1) / (x+1) )
= limes[x-->-1]( (x² - x + 1) ) = 3


Zu beachten ist, dass wir im Koeffizientenvergleich (außer x³) insgesammt drei Koeffizienten zu vergleichen haben, aber nur zwei Variablen zur Verfügung stehen. Damit kann es bei anderen Aufgaben vorkommen, dass keine Lösung beim Vergleich ermittelt werden kann. Das bedeutet, dass der Nenner nicht ausgeklammert werden kann.
Thomas_Da
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 10 Dez 2004 - 13:32:50    Titel:

wild_and_cool hat folgendes geschrieben:
...
Das ist ein Hinweis für die Regel von L'Hospital: ...

Fraglich ist aber, ob in der Schule die Regel verwendet werden kann, darf bzw. soll.
wild_and_cool
Moderator
Benutzer-Profile anzeigen
Moderator


Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 10 Dez 2004 - 13:45:28    Titel:

Ich sagte ja schon, es ist ein schneller Weg, aber ich denke, das es keinen wirklichen Sinn macht...

Denn wenn man etwas nicht direkt ableiten darf, sondern mit dem Differenzenquotienten bestimmen soll,
dann macht es ja nicht wirklich Sinn die Regel von L'Hospital zuzulassen,
da man sonst hätte auch gleich die Ableitung machen können...
Denn wenn ich die Ableitung benötige um die Ableitung nachzuweisen, naja der Satz beantwortet sich ja selber....

Dein Weg ist mir schon klar, kommt jetzt aber darauf an was die in ihrer Schule mit dem Diferenzenquotienten alles so angestellt haben...

Und ob der Koeffizientenvergleich ein ihnen bekanntes Mittel zur Berechnung ist, wage ich zu bezweifeln...
Pity
Gast






BeitragVerfasst am: 10 Dez 2004 - 13:48:32    Titel:

Das Problem ist, dass der Junge bisher weder Ableitungen noch die Regel von L'Hospital behandelt hat, wobei ich glaube, dass diese Regel wohl eher nicht im Schulstoff behandelt wird. Aber ich blicke jetzt schon ein wenig mehr durch.
Ursprünglich hatte ich die Idee, aus dem (x³ + 1) im Zähler ein (x+1)^3 zu machen. Das müsste doch gehen, oder? Und eigentlich sollte meine erste Frage darauf abzielen, ob es dort auch so eine Art "Binom" gibt. War wohl falsch von mir ausgedrückt. Nur hätte man dann dieses hier rausbekommen:
(x+1)(x+1)(x+1)/(x+1) --> Nun hätte man die 1. Bin Formel gehabt, welche, -1 eingesetzt, zum Ergebnis 0 geführt hätte, und das ist ja bekanntlich falsch.
Gast







BeitragVerfasst am: 10 Dez 2004 - 13:50:24    Titel:

Den Koeffizientenvergleich machen die nicht. Zumindest bis jetzt noch nicht. Der war mir aber auch nicht bekannt.
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Grenzwert y = x³ an der Stelle x0 = -1
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Gehe zu Seite 1, 2  Weiter
Seite 1 von 2

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum