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Menge abgeschlossen
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Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 10 Dez 2004 - 15:58:57    Titel: Menge abgeschlossen

Wieder mal ein kleines Problem aus der Funktionalanalysisvorlesung: Im Beweis dafür, dass die Menge der stetigen Funktionen auf einem Intervall, die in mindestens einem Punkt differenzierbar ist, eine magere Menge bildet, kam als Hilfsmenge

A_n:= {f € C[a,b] | E x € [a,b], A y € [a,b]: |f(x) - f(y)| <= n|x-y|}

für eine natürliche Zahl n (A und E steht anstelle der Quantoren "Für alle" und "es gibt") vor.
Der Prof hat ohne weiteren Kommentar gemeint, dass die Menge ja offensichtlich abgeschlossen ist (was auch für den Beweis gebraucht wurde), aber ich tue mich schwer damit, das zu erkennen. Kann ja sein, dass es echt einfach ist und ich nur auf dem Schlauch stehe. Kann mir jemand begründen, warum die Menge A_n abgeschlossen ist?
Jockelx
Gast






BeitragVerfasst am: 10 Dez 2004 - 16:24:46    Titel:

Hi Physikus,

hab gerade wenig Zeit, daher nur ganz kurz wie das laufen wird:

M abgeschlossen <=> f.a. x_n aus M ist Grenzwert x auch in M.

Da du hier stetige Fkt'en hast, ist f(x_n) = f(x) und auch jeder
Grenzwert einer bel. Folge wieder in M.
Überleg mal in diese Richtung. Vielleicht hab ich später nochmal
Zeit genauer zu überlegen.

Jockel
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2004 - 00:31:50    Titel:

Jockelx hat folgendes geschrieben:
Da du hier stetige Fkt'en hast, ist f(x_n) = f(x) und auch jeder Grenzwert einer bel. Folge wieder in M.

Schön und gut-bloß sind die Elemente der Menge die Funktionen f und nicht die Argumente x. Wink Also muss ich doch eine Folge von Funktionen konstruieren, oder nicht?
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2004 - 21:12:11    Titel:

Kann mir keiner weiterhelfen? Ich seh einfach nicht, wieso die Eigenschaft für den Grenzwert erhalten bleibt. Die Stetigkeit geht bei der Grenzfunktion ja i.a. auch verloren; aber trotzdem scheint man immer in x finden zu können, so dass dann für alle y der entsprechende Differenzenquotient beschränkt bleibt. Irgendwie hab ich da keine richtige Idee. Sad
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