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e-Funktionen, Ableitungen von e-Funktionen, F-diskussion
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PrimusInterPares
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
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BeitragVerfasst am: 10 Dez 2004 - 16:35:29    Titel: e-Funktionen, Ableitungen von e-Funktionen, F-diskussion

Hallo liebe Community,

ich bin zwar kein Student, jedoch kurz davor^^. Wir schreiben nächste Woche im LK eine KLausur über e-Funktionen und ich habe noch große Probleme diese zu durchschauen.

Wir müssen zum Beispiel Ableitungen bilden und hier auch schon meine erste Frage:

f(x)=e^(2lnx) + ln(e^(2x))
=> f'(x)=e^(2/x) * 2/x + 2
=> f''(x) = (x * ((-4 * e^(2/x) / x²) - (e^(2/x) * 2/x)) / x²
<=> (((-4xe^(2/x)) / x²) - ((2e^(2/x)) / x)) / x²
<=> (-6e^(2/x)) / x³

Sind die Ableitungen oben korrekt? Ich hatte vor allem Probleme den Exponenten von e (e^(2/x)) abzuleiten und habe an dieser Stelle die Quotientenregel (=> -2/x²) angewandt, bin mir jedoch absolut nicht sicher, ob man das machen darf.

Eine weitere Ableitung: f(x)=1/3sin(lnx)
=>f'(x)=1/3sin(1/x)
=>f''(x)=1/3sin(-1)

Auch hier wieder die Frage nach der Richtigkiet. Bleibt das 1/3sin oben einfach so stehen, wie ich's gemacht habe, oder passiert mit dem Ausdruck irgendetwas?

Ich soll die Aufgabe lösen: An welchen Punkten sind die Tangenten an den Graphen der natürlichen Logarithmusfunktion f(x)=lnx parallel zur Geraden mit 2x-3y+7=0? Wie lautet die jeweilige Gleichung der Tangente?

Wie muss ich an diese Aufgabe herangehen? Ich kann mich erinnern, dass wir vor ein oder zwei Jahren zwei Gleichungen auf Parallelität und Schnittpunkte untersucht haben. Hat dies etwas damit zutun? Wenn ja, wie geht das noch mal?


Ich möchte niemanden mit meinen Fragen überfordern, kann mir auch gut vorstellen, dass es dreist von mir ist, hier einfach lange und komplizierte Fragen zu stelle, ohne überhaupt Student zu sein. Trotzdem bitte ich euch die Aufgaben einmal anzuschauen. Ihr würdet mir sehr helfen!

Liebe Grüße
-Janis
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 10 Dez 2004 - 16:41:33    Titel:

f(x)=e^(2lnx) + ln(e^(2x))

Kann man da nicht auch --> Man kann !!!
e^(ln(x)) = x
ln(e^(x)) = x

Der ln ist die Umkehrfunktion von e !!!
Damit

f(x)=e^(lnx²) + 2x*ln(e^(1))

und dann
e^(lnx²) = x²
und
ln(e)=1

Damit dann:
f(x)=x² + 2x
PrimusInterPares
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 7
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BeitragVerfasst am: 10 Dez 2004 - 16:52:23    Titel:

Wow das ging schnell, danke. Du hast recht, man kann die Gleichung viel leicher so umformen, wie Du das gemacht hast!
Also ist die Ableitung einfach
f'(x)=2x+2
wenn mich nicht alles täuscht.

Mich verwirrt der Term e^(x/2), wie kann man ihn noch abders ausdrücken, oder gibt es da keine Möglichkeiten?
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 10 Dez 2004 - 16:57:27    Titel:

Das stimmt:
f'(x)=2x-2

Wozu willste denn den jetzt umformeln ???

Is doch nur e^((1/2)*x)
PrimusInterPares
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 7
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BeitragVerfasst am: 10 Dez 2004 - 17:06:04    Titel:

Verdammt ich habe mich vertippt^^
Ich meinte den Term e^(2/x), der verwirrt mich. Das hat nichts direkt mit der Aufgabe zu tun. Ist mehr eione generelle Frage.

Kannst Du mir auch bei der Parallelität helfen und bei der Ableitung mit sinus in der Funktion? Wäre richtig cool!
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 10 Dez 2004 - 17:10:44    Titel:

Also ohne die notwendigen Umformungen kannst Du meiner Meinung nach f(x)=e^(2ln(x))... garnicht so einfach ableiten...

f(x)=1/3*sin(ln(x))

also der sin(x) abgeleitet gibt den cos(x), dann die innere Ableitung des sin(ln(x)) ist die Ableitung des ln(x)' = 1/x

f'(x)=1/3 * cos(ln(x)) / x

Bei der zweiten geht das genauso:

Ableitung von cos(x) ist -sin(x), dann die innere Ableitung

Jetzt aufpassen, hier benötigt man dann noch zusätzlich die Quotientenregel !!!
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 10 Dez 2004 - 17:16:24    Titel:

Das mit der Parallelität is ganz einfach:

Du hast ne Gerade in der Form: y=mx+b
Damit ist m die Steigung der Gerade, und b die Verschiebung nach oben oder unten.

Also Deine Gerade nach y auflösen, eine Gerade aufstellen, die die gleiche Steigung hat, aber frei verschoben werden kann, also mit einem Faktor b...

Dann sollen sich y=ln(x) und y=mx + b schneiden....
Also gleichsetzen...

ln(x) = mx + b

Jetzt das b ausrechnen...
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 10 Dez 2004 - 17:21:04    Titel:

Zitat:
Hat dies etwas damit zutun? Wenn ja, wie geht das noch mal?


Es hat immer alles irgendwie miteinander zu tun...
In der Grundschule hast Du addieren und multiplizieren kennengelernt,
das brauchst Du heute auch immer wieder.
So ist es mit fast allem in der Mathematik, entweder man braucht es mal wieder oder man lernt neue schnellere Verfahren kennen, die aber im Grundgedanken ebenfalls auf bekanntem basieren...
PrimusInterPares
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 7
Wohnort: Münster, NRW

BeitragVerfasst am: 10 Dez 2004 - 17:43:00    Titel:

Die zweite Ableitung wäre dann:
f''(x)=(-sin(lnx) * 1/3 - 1/3cos(lnx)) / x²

hoffendlich stimmt das?

Wenn h(t)=o,5ln((t/3)-1) ist, kann man das die erste Ableitung einfach al

h'(t)=1/2 / ((t/3)-1) ausdrücken, oder muss man die 0,5 vor dem nat. Logarithmus erst in die Klammer bringen?

Man, Du hilfst mir echt ungeheuerlich, danke!
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 10 Dez 2004 - 17:52:23    Titel:

Die Ableitung ist richtig so...

h(t)=o,5ln((t/3)-1)

h(t)=(1/2) * ln((t/3)-1)

also die Ableitung vom ln: 1/das was im ln steht
Dann noch die innere Ableitung, also von dem was im ln steht...
Un das Ganze dann noch mal 1/2
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