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kreiskegel + tagentialebene
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schl8er
Gast






BeitragVerfasst am: 10 Dez 2004 - 17:22:58    Titel: kreiskegel + tagentialebene

hallo
gegeben ist ist die achse durch die eine kreiskegelfläche geht:
r= (0,-8,22) + t(1,1,-4)
und eine tagentialebene e: 2x-y-2z=9

frage: welche koords hat die spitze des kegel?
und wie gr0ß ist der öffnungswinkel?

zu 1. muss ich die da gleichsetzen? ich habe keine ahnung wie ich die anpacken soll wäre um jede hilfe dankbar

mfg
schl8er
aldebaran
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Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 10 Dez 2004 - 19:21:05    Titel:

Hi,
zu1)
du wandelst die Gleichung der Ebene in Koordinatenform in eine Gleichung in Parameterform um und schneidest sie mit der Geraden (= Gerade = Mittelachse des Kegels, wenn ichs richtig lese), dann erhälst du für die Lösung des LGS die Werte der drei Parameter, in Geradegleichung eingesetzt ergeben sich die Koordinaten der Kegelspitze.
zu 2)
Kegelwinkel = doppelter Winkel der zwischen der Geraden und der Mantellinie der Ebene eingeschlossen wird, er kann über Schnittwinkel Gerade - Ebene berechnet werden.

Geht natürlich auch ohne Umwandlung der Ebene, z.B. so:

aus der Vektorgleichung x=(0|-8|22)+t*(1|1|-4) folgt für die Koordinatengleichung der Ebene:
mit x=(0+t), y=(-8+t) und z=(22-4t) eingesetzt in Ebenengleichung:
2(0+t)-(-8+t)-2(22-4t)=9
==> 2t+8-t-44+8t=9
==> 9t=45
==> t=5;
dann liegen die Koordinaten der Spitze für t=+5 eingesetzt in Geradengleichung bei: S=(5|-3|2)

Nun brauchen wir ein bißchen Geometrie:
der Normalenvektor n der Tangetialebene E schneidet die Symmetrieachse (=Gerade) des Kegels unter dem Winkel b (= beta), dann ist der Kegelöffnungswinkel a (= alpha) = 2*(90-b);(= muss man halt mal aufzeichnen), also gilt:
cos(b) =[u*n]/[|u|*|n|]
cos(b) =[(1|1|-4)*(2|-1|-2)]/[sqrt(18)*sqrt(9)]=0,7071067==>Winkel b = 45°==> alpha = 90° = Öffnungswinkel des Kegels !

Viola!
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