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konvergenz (1-1/n)^n
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> konvergenz (1-1/n)^n
 
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rikki
Gast






BeitragVerfasst am: 11 Dez 2004 - 00:07:22    Titel: konvergenz (1-1/n)^n

Hallo,
weiss vielleicht jemand, wie mand beweist,dass
(1-1/n^2)^n gegen 1 konvergiert bei n->oo?
Ich brauche das ganz dringend. Sad

danke sehr Smile Laughing
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
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BeitragVerfasst am: 11 Dez 2004 - 00:53:46    Titel:

Ich denke man kann den lim a*b durch lim a * lim b ersetzen, falls diese Grenzwerte existieren.
= lim [n->oo] [ (1-1/n^2)^n ]
= lim [n->oo] [ (lim [n->oo] [(1-1/n^2)] ) ^n ]
ist ja im Grunde lim(1) a * lim(2) a * lim(3) a * ... * lim(n) a
= lim [n->oo] [ 1 ^n ]
= 1

[Ich sehe ein und glaube inzwischen auch, dass das mathematisch nicht korrekt ist!]


Zuletzt bearbeitet von Thomas_Da am 11 Dez 2004 - 01:32:02, insgesamt einmal bearbeitet
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2004 - 00:58:24    Titel:

inf = unendlich

Ich weiß nicht, ob das so mathematisch ganz korrekt ist, aber könnte man nicht (1 - 1/n^2)^n = (1 + x/n)^n mit x = -1/n setzen und dann benutzen, dass (1 + x/n)^n gegen exp(x) konvergiert? Dann hätte man exp(-1/inf) = exp(0) = 1.

Darf man das so machen, oder führt das nur zufällig zum richtigen Ergebnis? Confused
kamischiki
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Anmeldungsdatum: 11.12.2004
Beiträge: 129
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BeitragVerfasst am: 11 Dez 2004 - 01:05:30    Titel:

ist ja schoen, aber wie zeigt mann nunn, dass (1-1/n)^n -> 1 ???
Rein automatisch wuerde ich sagen 1/n ->0 folglich (1-1/n)^n -> 1.
es sieht zumindest logisch aus, aber so einfach ist es nicht, denn es gab hinweis(vom Prof), man solle dabei bernulli-Ungleichung benutzen Crying or Very sad
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2004 - 01:16:14    Titel:

kamischiki hat folgendes geschrieben:
ist ja schoen, aber wie zeigt mann nunn, dass (1-1/n)^n -> 1 ???

Du hast ein Quadrat im Nenner vergessen-so konvergiert es gegen 1/e. Wink
PS: Die Definition der Exponentialfunktion über den Grenzwert der Folge hattet ihr noch nicht?
kamischiki
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Anmeldungsdatum: 11.12.2004
Beiträge: 129
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BeitragVerfasst am: 11 Dez 2004 - 01:16:45    Titel:

Ausserdem hatte ich bis vor 2 Minuten noch keine Ahnung,was exp(x) sei, und es gilt generell, dass man nicht benutzen darf, was in der vorlesung nicht eingefuert war.

aber trotzdem danke fuer die Muehe Wink
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2004 - 01:21:26    Titel:

Ich dachte halt, ihr hättet das gehabt, wenn man euch so eine Aufgabe stellt. Shocked Wie man beweist, dass der Limes von (1 + 1/n)^n = e ist, das weiß ich so spontan auch nicht. Bernoullische Ungleichung schaut aber jedenfalls nicht schlecht aus...
kamischiki
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Anmeldungsdatum: 11.12.2004
Beiträge: 129
Wohnort: Kiev/Frankfurt

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2004 - 01:28:36    Titel:

was fuer durcheinander hier!

Also hier ist mein Gedankengang (ich habe halt versucht alldas zu benutzen, was in Hinweisen zur loesung stand):
benutze Sandwich-Lemma und Bernulli-ungleichung:
1>( (1-1/n^2)^n)=( (1-1/n)^n)*( (1+1/n)^n)>=( (1-1/n)^n)*(1+n*1/n)=( (1-1/n)^n)*2>( (1-1/n)^n)>?
1->1
?->1 =>bewiesen
(1 + 1/n)^n = e muss man uebrigens nicht beweisen, es war bei uns als Definition eingefuert
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2004 - 01:38:21    Titel:

kamischiki hat folgendes geschrieben:
(1 + 1/n)^n = e muss man uebrigens nicht beweisen, es war bei uns als Definition eingefuert

Ist auch der Grenzwert von (1 - 1/n)^n bekannt?
kamischiki
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Anmeldungsdatum: 11.12.2004
Beiträge: 129
Wohnort: Kiev/Frankfurt

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2004 - 01:43:02    Titel:

womit wir uns hier beschaeftigen ist aufgabenteil a) und
im b) muss man mit hilfe von a) beweisen, dass (1-1/n)^n -> 1/e
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