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Ist a1x1+a2x2=b ein Untervektorraum vom R^2 ?
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Ist a1x1+a2x2=b ein Untervektorraum vom R^2 ?
 
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carlito
Gast






BeitragVerfasst am: 11 Dez 2004 - 13:45:10    Titel: Ist a1x1+a2x2=b ein Untervektorraum vom R^2 ?

Hi,

Ist die Teilmenge W, also a1x1+a2x2=b ein Untervektorraum vom R^2 ?

Ich weiss, man muss drei Kriterien für Untervektorräume nachprüfen.

1. W ungleich leere Menge.
2. Wenn u und v aus W, dann folgt daraus dass u+v auch aus W ist.
3. Wenn u aus W und lambda aus K (K=Körper), dann ist auch ulambda aus W.

Also ich seh das so:
Ein vielfaches der ersten Komponente eines Vektors + ein vielfaches der zweiten Komponente des gleichen Vektors ergibt einen Vektor mit "einer" Komponente (b).
Aber es gibt doch keinen Vektor mit einer Komponente im R^2, oder wird hier gemeint, dass eine Komponente 0 ist, wenn ja, welche? Oder meinen die hier den Nullvektor, aber sogar der hat 2 Komponenten im R^2, nämlich die 0 und die 0.
Ich versteh das nicht ganz. Versteht ihr das?
Gast







BeitragVerfasst am: 11 Dez 2004 - 13:55:23    Titel:

sorry, ich hab vergessen was dazu zu schreiben:

(x1,x2) ist ein Element vom R^2, also ein Vektor vom R^2 mit den zwei Komponenten x1 und x2.
xaggi
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2004 - 13:57:33    Titel:

> a1x1+a2x2=b

ich seh das so: W = {(x1,x2) | a1x1 + a2x2=b} wobei a1 und a2 beliebige, aber fest gewählte reelle Zahlen sind.

(x1,x2), (y1,y2) aus W.
(x1,x2) + (y1,y2) = (x1+y1,x2+y2)

Dann ist a1(x1+y1)+a2(x2+y2) = a1x1 + a2x2 + a1y1 + a2y2 = b + b = 2b ungleich b für b ungleich 0. Damit ist W kein Unterraum.

Für b=0 ist es einer (Beweis durch prüfen der Bedingungen).


>Ein vielfaches der ersten Komponente eines Vektors + ein vielfaches der zweiten Komponente des gleichen Vektors ergibt einen Vektor mit "einer" Komponente (b).

Nein. Du addierst Skalare (die Komponenten eines Vektors) und erhälst auch wieder einen Skalar b.
Alle Vektoren deren skalare Komponenten diese Bedingung erfüllen sind Elemente deiner Menge.
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