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Flächenberechnung
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Gast







BeitragVerfasst am: 11 Dez 2004 - 18:29:57    Titel: Flächenberechnung

Ich habe hier eine für mich relativ schwere Integral-Aufgabe, aber vielleicht könnt ihr mir ja etwas auf die Sprünge helfen. Wink


Gegeben seien für 0<a<2 die Schaubilder der Funktion mit den Gleichungen:

f(x)= a³-0,25ax² und g(x)= 4a-(x²/a)


a) Berechne den Inhalt des Flächenstücks, das je zwei Schaubilder dieser Funktion einschließen

b) Für welchen Wert von a besitzt dieses Flächenstück einen extremen Inhalt?
Wie groß ist dieser extreme Inhalt?








Ich wäre euch sehr dankbar für eine Antwort, Wink

Markus
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2004 - 19:18:41    Titel:

Bei den beiden Kurven handelt es sich um nach unten offene Parabeln, symmetrisch zur y-Achse. Beide Kurven gehen bei x = +/- 2*a durch 0.

Der Flächeninhalt ist die Fläche der oberen Kurve minus der Fläche der unteren Kurve, gerechnet von x=-2*a bis x=2*a (hier schneiden sich beide Kurven). Da die Kurven symmetrisch zur y-Achse sind, kann ich stattdessen auch die Fläche von x=0 bis x=2*a nehmen und mit 2 multiplizieren.
Fläche = 2 * Integral von f(x) von 0 bis 2*a
- 2 * Integral von g(x) von 0 bis 2*a

Die Fläche von f(x) ist dann 2 * (3*a^3 - (9/4)*a)
Die Fläche von g(x) ist dann 2 * (12*a - 9/a))

Jetzt muss ich noch beide Flächen voneinander abziehen, dann habe ich den Wert der eingeschlossenen Fläche.

Man erkennt auch, dass für a = 2 die gesuchte Fläche = 0 ist (beide Funktionen sind dann identisch (f(x) = g(x)).

So, jetzt hoffe ich, dass ich in der Schnelle keine Rechenfehler drin habe.

Gruß
Andromeda
Gast







BeitragVerfasst am: 12 Dez 2004 - 12:18:49    Titel:

Erstmal danke für deine Mühe, Andromeda

Was mir jedoch nicht ganz klar ist, ob für a=2 wirklich ein extremer Flächeninhalt vorhanden ist, denn 0<a<2 , a kann also eigentlich garnicht 2 werden, höchstens gegen 2 streben.
Kann es also überhaupt sein, dass 0 ein extremer Flächeninhalt ist?


Und beim a) Teil ist ja ein Flächenstück gefragt, welches je zwei
Schaubilder dieser Funktionen einschließen.
Ist dort also nicht eine Fläche gefragt, die von 4 Schaubildern umschlossen ist?

Nochmals danke für eure Hilfe,

Markus
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2004 - 12:39:36    Titel:

Zitat:
Was mir jedoch nicht ganz klar ist, ob für a=2 wirklich ein extremer Flächeninhalt vorhanden ist, denn 0<a<2 , a kann also eigentlich garnicht 2 werden, höchstens gegen 2 streben.


Das ist schon richtig, was Du da sagst...
Dann muss man halt den Grenzwert für a-->2 bilden
Ebenso den Grenzwert für a-->0

Zitat:
Kann es also überhaupt sein, dass 0 ein extremer Flächeninhalt ist?


Wenn man ein Extremum berechnet, bekommt man meistens ein Maximum und ein Minimum, und wenn 0 die kleinste Fläche ist die die Funktionen einschliessen können, dann ist das das absolute Minimum...
(Aus meiner Sicht macht es aber keinen Sinn eine Fläche der Größe 0 anzugeben !!!)

Zitat:
Und beim a) Teil ist ja ein Flächenstück gefragt, welches je zwei
Schaubilder dieser Funktionen einschließen.


Da die gegebenen Kurven aus einer Kurvenschar stammen, versteh ich das so, dass man zwei Kurven finden soll für die das gilt.

Zitat:
Ist dort also nicht eine Fläche gefragt, die von 4 Schaubildern umschlossen ist?


Das geht garnicht, denn dann müsste a gleichzeitig mehrere Werte annehmen, und man kann immer nur einen Fall von a betrachten !!!
Gast







BeitragVerfasst am: 12 Dez 2004 - 14:41:44    Titel:

Da stimme ich meinem Vorredner wild_and_cool voll und ganz zu, dass ein Flächeninhalt=0 etwas unsinnig ist, aber es muss ja auch einen maximalen Flächeninhalt geben,
ich vermute mal für a--->0

Um aber nochmal auf die Flächenberechnung zurück zu kommen:

Wenn ich den Integral von f(x)-g(x) ausrechne und *2 nehme, habe ich die Fläche in Abhängigkeit von a. Also müsste, wenn ich a=2 einsetze 0 herauskommen.
Nach meiner Rechnung kommt aber für die Fläche: (44/3)ahoch4 - (32/3)a²
raus, was aber für a=2 nicht null ergibt....

Habe ich mich einfach nur verrechnet oder stimmt die ganze Hypothese von Andromeda und mir nicht??

Vielen Dank schonmal,

Markus
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2004 - 16:00:16    Titel:

Also von Anfang an:

F(x)=Integral[-2a..2a]{a³-1/4 * ax²}dx =
a³ * Integral[-2a..2a]{1}dx - 1/4 * a * Integral[-2a..2a]{x²}dx =
a³ * [x][-2a..2a] - 1/4 * a * [1/3 * x³][-2a..2a] =
a³ * 2a - a³ * (-2a) - 1/4 * a * (1/3 * (2a)³) + 1/4 * a * (1/3 * (-2a)³) =
2a^4 + 2a^4 - 2/3 * a^4 - 2/3 * a^4 =
4a^4 - 4/3 * a^4 = 8/3 * a^4 = A1

G(x)=Integral[-2a..2a]{4a-(x²/a)}dx =
4a * Integral[-2a..2a]{1}dx - 1/a * Integral[-2a..2a]{x²}dx =
4a * [x][-2a..2a] - 1/a * [1/3 * x³][-2a..2a] =
4a * 2a - 4a³ * (-2a) - 1/a * (1/3 * (2a)³) + 1/a * (1/3 * (-2a)³) =
8a² + 8a² - 8/3 * a² -8/3 * a² = 32/3 * a² = A2
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2004 - 16:08:14    Titel:

Jetzt müssen wir die Fläche bestimmen die die Funktionen einschliessen...

Nullstellen beider Funktionen sind: -2a und 2a, das haben wir ja schon bei den Integralen verwendet...

Wir sehen aber, dass die Flächen für a=0 :
A1(0)= 8/3 * a^4 = 0 und A2(0) = 32/3 * a² = 0
Also keine Fläche existiert...

Und für a=2:
A1(2)= 8/3 * 2^4 = 8/3 * 2² * 2² = 32/3 * 2²
und
A2(2) = 32/3 * 2²

d.h. die Flächen sind identisch...
Gast







BeitragVerfasst am: 12 Dez 2004 - 16:17:36    Titel:

also existiert weder für a=0 noch für a=2 eine Fläche, was ja auch wenig verwunderlich ist, da ja a zwischen 0 und 2 sein muss.

Die Frage ist eben, ob und wo die Fläche ein Maximum besitzt, denn 2 Minima haben wir schon gefunden, oder (??)

Für welches a ist also die Fläche Maximal und wie groß ist sie dort?

Anders als durch ausprobieren fällt spontan keine Lösung ein... Sad


Markus
Gast







BeitragVerfasst am: 12 Dez 2004 - 16:34:34    Titel:

Da die Fläche A1 im Intervall 0<a<2 immer oberhalb von A2 liegt:

A = A1 - A2
A = 8/3 * a^4 - 32/3 * a²

Um das Maximum zu bestimmen :
A' = 32/3 * a³ - 64/3 * a

Dann A' = 0:

32/3 * a³ - 64/3 * a = 0
32/3 * a ( a² - 2 ) = 0

1. a=0... Bringt nix !!!
2. a² - 2 = 0 --> a=+-Wurzel(2)
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 12 Dez 2004 - 17:37:16    Titel:

Also ich hab's jetzt !!!

Mann das ja richtig doof ?!?

Also schauen wir uns mal die Funktionen genauer an:
f(x)=a³-(1/4)ax²
f'(x)=-(1/2)ax --> x=0
f''(x)=-(1/2)a
Also für 0<a<2 immer ein Maximum !!! Also einen Hochpunkt !!!

g(x)=4a-(x²/a)
g'(x)=-(2/a)x --> x=0
g''(x)=-(2/a)
Also für 0<a<2 immer ein Maximum !!! Also einen Hochpunkt !!!

Vergleicht man nun mal die Funktionswerte an der Stelle x=0:
f(0)=a³
g(0)=4a

Setzt man nun probeweise mal Werte für a ein:
a=1/10 --> f(0)=1/1000 --> g(0)=2/5 --> g liegt oberhalb
a=1/2 --> f(0)=1/8 --> g(0)=2--> g liegt oberhalb
a=1 --> f(0)=1 --> g(0)=4 --> g liegt oberhalb
a=3/2 --> f(0)=27/8 --> g(0)=6 --> g liegt oberhalb

Also müssen wir bei der Flächenberechnung nicht F-G rechnen, sondern G-F:

A = A2 - A1
A = 32/3 * a² - 8/3 * a^4

Um dann das Maximum zu bestimmen:
A' = 64/3 * a - 32/3 * a³
64/3 * a - 32/3 * a³ = 0
32/3 * a * (2 - a²) = 0
--> a=0... (<-- nicht definiert)
--> a=+-(Wurzel(2))

A''=64/3 - 32a²
A''(+-(Wurzel(2))=64/3 - 64 --> <0, Damit Maximum !!!

A(+-(Wurzel(2))=32/3 * a² - 8/3 * a^4 = 64/3 - 32/3 = 32/3

Wenn man es aber andersherum rechnet, also F-G, dann müsste man nach dem Kehrwert suchen und nach einem Minimum...
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