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betragsungleichungen mit brüchen
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Rox
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Anmeldungsdatum: 11.12.2004
Beiträge: 3
Wohnort: Canada

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2004 - 18:54:27    Titel: betragsungleichungen mit brüchen

ich muss eine hausarbeit über betragsfunktionen machen, dazugehören auch die ungleichungen, was ich aber nicht verstehe wie das funktioniert wenn ich eine aufgabe wie

(betrag von dem ganzen bruch)
x+2
x+1
<= (bedeutet kleiner gleich) 2

ich habe du der aufgabe auch die lösung und teilweise verstehe ich die auch.
man muss das dann zuerst in zwei teile aufteilen. imersten fall legt man fest, dass dier nenner positiv ist.
dann muss man das noch mla in drei teile aufteilen, einmal wenn der bruch (ohne betrag) größer als -2 (#1) und einmal wenn er kleiner als 2 (#2) ist. so weit komm ich noch mit.
aber dann muss man x+1>0 (das hat man ja für diesen fall festgelgegt) nach x auflösen (#3). warum muss man das machen?

als lösungen habe ich dann gegeben für
#1 x>= -4/3
#2 x>=0
#3 x>-1

dann sagt das buch "this gives x>= 0" warum nimmt man da die größte zahl?

dann wird das ganze wiederholt, allerdings ist der nenner negativ, also das ungleichungszeichen dreht sich um.
#1' x<= -4/3
#2' x<= 0
#3' x<-1

dann sagt das buch "this gives x<= -4/3" warum muss ich dieses mal die kleinste zahl nehmen?

und "the solution ist x>= -4/3 or x<= -4/3" und warum drehen sich hier die zeichen um??

Hoffe ihr könnt mir helfen. Schon mal danke im vorraus.
BlauBlau
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Anmeldungsdatum: 03.10.2004
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2004 - 20:46:13    Titel:

"dann sagt das buch "this gives x>= 0" warum nimmt man da die größte zahl?"
die lösungsmenge soll gleichzeitig größer als -4/3, -1 und 0 sein, somit kann die lösungsmenge nur größer als die größte zahl sein. z.b. -0,5 ist zwar größer als -4/3 und -1 aber kleiner als 0.
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2004 - 20:55:17    Titel:

|(x+2)/(x+1)| <= 2
|(x+2)|/|(x+1)| <= 2
Fallunterscheidung A: 1. Fall A x+1>=0 ===> x>=-1:
|(x+2)|/(x+1) <= 2
|(x+2)| <= 2*(x+1)

Fallunterscheidung B: 1. Fall B x+2>=0 ===> x>=-2
(x+2) <= 2*(x+1)
x+2 <= 2x+2
0 <= x
also wenn x>=-2 (wg. Fallunterscheidung) und x>=0, dann erfüllen alle diese x (x>=0) die oben gegebene Ungleichung. ( x>=0 ist strenger als x>=-2, also alle x die x>=0 erfüllen, erfüllen auch x>=-2.)
Damit haben wir als Lösung im Fall I (1. Fall A und 1. Fall B) x>=0.

Fallunterscheidung B: 2. Fall x+2<=0 ===> x<=-2
-(x+2) <= 2*(x+1)
-x-2 <= 2x+2
-4 <= 3x
-4/3 <= x
also wenn x<=-2 (wg. Fallunterscheidung) und -4/3<=x, dann erfüllen alle diese x (x zwischen -2 und -4/3) die oben gegebene Ungleichung.
Damit haben wir die Lösung im Fall II (1. Fall A und 2. Fall B) -2<=x<=-4/3.

Fallunterscheidung A: 2. Fall A
Analog muss für den 2. Fall der Fallunterscheidung A vorgegangen werden. Man erhält die Lösungen im Fall III und Fall IV.

Alle diese Lösungen zusammengenommen bilden die Lösung der gegebenen Ungleichung.
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 11 Dez 2004 - 21:03:25    Titel: Re: betragsungleichungen mit brüchen

Rox hat folgendes geschrieben:
als lösungen habe ich dann gegeben für
#1 x>= -4/3
#2 x>=0
#3 x>-1

dann sagt das buch "this gives x>= 0" warum nimmt man da die größte zahl?

Je geschachtelter Fallunterscheidung erhält man eine Ungleichung für das x. Da wir hier 2 Fallunterscheidungen haben (für Zähler und Nenner) resultieren daraus die Ungleichungen #2 und#3. #1 ergibt sich nach Auflösen der ursprünglichen Ungleichung nach x (unter Beachtung der Vorzeichen, die durch das Auflösen der Beträge resultieren).
Da das x alle diese drei Ungleichungen gleichzeitig erfüllen muss, ist zu prüfen für welche x das gilt. Hier handelt es sich nur um >-Ungleichungen, also um eine einseitige Beschränung der x. Dann zählt nur die schärfste Schranke, also die die am wenigsten Lösungen zulässt.
Hier ist das x>=0.
So erfüllen beispielsweise 0 und 1 alle drei Bedingungen, wogegen -1 #1 und -0,5 sogar #1 und #3 verletzen.
Gast







BeitragVerfasst am: 11 Dez 2004 - 22:55:01    Titel:

Euromath
Gast






BeitragVerfasst am: 12 Dez 2004 - 01:37:51    Titel:

U == Vereinigung zweier Mengen
== Durchschnitt zweier Mengen


|(x+2)/(x+1)| <= 2 bedeutet
-2 <= (x+2)/(x+1) <= 2 , was wiederum bedeutet
-2 <= (x+2)/(x+1) wenn (x+2)/(x+1) negativ ist, oder
(x+2)/(x+1) <= 2 wenn (x+2)/(x+1) positiv ist

Also entstehen Ungleichungssysteme.

1.
(x+2)/(x+1) >= -2 , x≠-1 für alle Ungleichungen

(x+2)/(x+1) <= 0

U

2.
(x+2)/(x+1) <= 2

(x+2)/(x+1) >= 0


1.
(x+2)/(x+1) >= -2

(x+2)/(x+1) <= 0

(x+2)/(x+1) <= 0 bedeutet x+2 <= 0 x+1 > 0 U x+2 >= 0 x+1 < 0

x+2 <= 0 x+1 > 0
U
x+2 >= 0 x+1 < 0

x <= -2 x > -1
U
x >= -2 x < -1

Ø
U
-2 <= x < -1

1.
(x+2)/(x+1) >= -2

-2 <= x < -1 , hier sieht man, (x+1) < 0

x+2 <= -2(x+1)

-2 <= x < -1

x+2 <= -2x-2

-2 <= x < -1

3x <= -4

-2 <= x < -1

x <= -4/3

-2 <= x < -1
ergibt
-2 <= x <= -4/3 , ein Teil der Lösung
------------------------------------------------
2.
(x+2)/(x+1) <= 2

(x+2)/(x+1) >= 0

(x+2)/(x+1) >= 0 bedeutet beide psitiv oder beide negativ
x+2 >= 0 x+1 > 0
U
x+2 <= 0 x+1 < 0

x >= -2 x > -1
U
x <= -2 x < -1

x > -1
U
x <= -2


2.1
(x+2)/(x+1) <= 2

x > -1

U

2.2
(x+2)/(x+1) <= 2

x <= -2

2.1
(x+2)/(x+1) <= 2

x > -1 , bedeutet auch, dass x+1 positiv ist

x+2 <= 2(x+1)

x > -1

x+2 <= 2x+2

x > -1

x <= 2x

x > -1

0 <= x

x > -1
ergibt
x >= 0 , noch ein Teil der Lösung
--------------------------------------------

2.2
(x+2)/(x+1) <= 2

x <= -2 , bedeutet auch, dass x+1 negativ ist

x+2 >= 2(x+1)

x <= -2

x+2 >= 2x+2

x <= -2

x >= 2x

x <= -2

0 >= x

x <= -2
ergibt
x <= -2 , noch ein Teil der Lösung

Alles zusammen:
x <= -2 U -2 <= x <= -4/3 U x >= 0 ergibt zwei Intervalle: ]-∞; -4/3] U [0; +∞[
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