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Differenzialgleichung problem
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Tian
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Anmeldungsdatum: 03.10.2006
Beiträge: 122
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 22 Feb 2007 - 18:34:09    Titel: Differenzialgleichung problem

x*f'(x) = a + 1 - f(x) und f(1) = a

f(x) ?

also ich hab mal versucht nach f'(x) umzustellen um schließlich beidseitig zu integrieren.

Doch hab nun f(x) = (a+1)*ln x - int [1/x * f(x)] dx

nun stecke ich fest...
Oldy
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Anmeldungsdatum: 11.01.2007
Beiträge: 500

BeitragVerfasst am: 23 Feb 2007 - 01:03:30    Titel:

Umgestellt ergibt sich: f'(x)= (a+1-f(x))/x

Ohne die Konstanten wäre es die Dgl. f'(x)= f(x)/x, mit den Lösungen f(x)=A/x. Mit den Konstanten ist dann wohl die Funktion etwas abzuwandeln. Ansatz: f(x)= A/x + B --> f'(x)= -A/x²

Einsetzen in die Dgl.: -A/x² = (a+1-A/x-B)/x -> B=a+1
Allgemeine Lösung ist also: f(x)= A/x+a+1.
Anpassung an Randbedingung: a=f(1)= A/1+a+1 --> 0=A+1 --> A=-1
--> Lösung ist f(x)= -1/x+a+1.
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 23 Feb 2007 - 11:17:47    Titel:

Hallo !

"Oldy" hats schon richtig geschrieben.

Man könnte es auch etwas anders formulieren, z.B.:

x*f'(x) = -(- (a + 1) + f(x))
x*(- (a + 1) + f(x))' = -(- (a + 1) + f(x))
x*(- (a + 1) + f(x))'/(- (a + 1) + f(x)) = -1
(- (a + 1) + f(x))'/(- (a + 1) + f(x)) = -1/x
(ln|- (a + 1) + f(x)|)' = -(ln|x|)'
(ln|- (a + 1) + f(x)|)' = (ln|1/x| + C1)'
Integrieren
ln|- (a + 1) + f(x)| = ln|1/x| + C1
- (a + 1) + f(x) = (1/x) * C2
f(x) = a + 1 - (1/x) * C2
f(1) = a => a = a + 1 - C2 => C2 = 1
=> f(x) = a + 1 - 1/x

Test durch Einsetzen !
Tian
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Anmeldungsdatum: 03.10.2006
Beiträge: 122
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 23 Feb 2007 - 12:53:20    Titel:

klingt alles sehr schlüssig, aber ich weiß nicht woran das liegt, mein Mathe Lehrer hat uns aber die lösung f(x) = (lnx+a)/x angegeben...
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 23 Feb 2007 - 13:32:23    Titel:

Einfach einsetzen, dann siehst Du ja was rauskommt:

links: x*((lnx+a)/x)' = x*(1/x²-(lnx+a)/x²) = 1/x-a/x-lnx/x
rechts: a+1-(lnx+a)/x = a+1-a/x-lnx/x

Nicht gleich => (lnx+a)/x falsch

Dein Lehrer hat wohl eine andere Aufgabe gemeint.
Tian
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Anmeldungsdatum: 03.10.2006
Beiträge: 122
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 23 Feb 2007 - 17:39:29    Titel:

Winni hat folgendes geschrieben:
Einfach einsetzen, dann siehst Du ja was rauskommt:

links: x*((lnx+a)/x)' = x*(1/x²-(lnx+a)/x²) = 1/x-a/x-lnx/x
rechts: a+1-(lnx+a)/x = a+1-a/x-lnx/x

Nicht gleich => (lnx+a)/x falsch

Dein Lehrer hat wohl eine andere Aufgabe gemeint.


Müsste nicht laut Quotientenregel [(lnx+a)/x]' = [(lnx+a)'*x - lnx+a]/x² = [(xlnx - x + a)*x - lnx + a]/x² rauskommen?
Tian
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Anmeldungsdatum: 03.10.2006
Beiträge: 122
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 23 Feb 2007 - 17:44:45    Titel:

Winni hat folgendes geschrieben:

x*f'(x) = -(- (a + 1) + f(x))
x*(- (a + 1) + f(x))' = -(- (a + 1) + f(x))


Wieso ist f'(x) = (- (a + 1) + f(x))' ?
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 24 Feb 2007 - 18:38:09    Titel:

Ich will Dir ja wirklich nicht zu nahe treten, aber wer sich mit Differenzialgleichungen beschäftigt, MUSS sich mit den Ableitungsregeln auskennen !!!

(g(x)+ f(x))' = g'(x) + f'(x)

Wenn g(x) := -(a+1) definiert ist, also bezüglich x konstant ist, ist g'(x) = 0 .


Und was das andere betrifft:

(a(x)/b(x))' = a'(x)/b(x) + a(x)*(1/b(x))' mit (1/b(x))' = -b'(x)/b²(x)
=>
(a(x)/b(x))' = (a'(x)b(x) - a(x)*b'(x)) / b²(x)

Mit a(x) := ln(x) + a und b(x) := x folgt:
a'(x) = (ln(x) + a)' = ln'(x) + a' = 1/x + 0 = 1/x
b(x) = x' = 1

[(lnx+a)/x]' = [(1/x)*x - (ln(x) + a)]/x² = [1 - ln(x) - a]/x²
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