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auch differentialgleichungen
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isi1
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Anmeldungsdatum: 10.08.2006
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BeitragVerfasst am: 23 Feb 2007 - 19:08:27    Titel:

Jetzt könnten wir Deine DGL grafisch integrieren:

y' = a* y / x .... nehmen wir a = 1 und zeichnen kleine Schrägstriche, die y' = dy/dx darstellen alle 5mm nach rechts und nach oben ein.
Damit erhalten wir ein Feld von Steigungen, durch das wir Kurven mit gleicher Steigung legen können
Geht das?


Zuletzt bearbeitet von isi1 am 23 Feb 2007 - 19:09:33, insgesamt einmal bearbeitet
yvi13
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BeitragVerfasst am: 23 Feb 2007 - 19:08:54    Titel:

xy`= ay

dann wird y`in dy/dx umgeformt. dass das so ist hab ich mal gelernt aber was bringt mir das hier? und dy bedeutet doch eigentlich nur, dass ich hier das y integrieren muss, oder??


das versteh ich noch nicht so richtig.
isi1
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BeitragVerfasst am: 23 Feb 2007 - 19:12:13    Titel:

yvi13 hat folgendes geschrieben:
xdann wird y`in dy/dx umgeformt. dass das so ist hab ich mal gelernt aber was bringt mir das hier? und dy bedeutet doch eigentlich nur, dass ich hier das y integrieren muss, oder
Eigentlich ist y' identisch mit dy/dx, es ist also keine Umformung, sondern nur eine andere Schreibweise.
y' hat Newton erfunden und dy/dx Leibniz

Die beiden hatten Streit wegen der Priorität. Es gab eine Gerichtsverhandlung in England, wofür die Engländer schlauerweise Newton als Vorsitzenden Richter bestimmten. Leibniz hat dann natürlich verloren, was nicht verwundert. Die Engländer verwendeten nur die Newton-Schreibweise, wodurch sie weit zurückfielen. Die weiteren großen Erfindungen wurden dann auf dem Kontinent gemacht (Bernoulli, Euler usw.)
yvi13
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BeitragVerfasst am: 23 Feb 2007 - 19:19:15    Titel:

ohh, ich hab grad eine allgemeinen lösungsweg gefunden:

dy/dx = g(x) * h(y)

dy/ h(y) = g(x) dx

und dann integrieren!


ok, machen wir nochmal eine aufgabe bezogen auf den lösungsweg:

x² + 1 = y * y` (1. 0rdnung, weil die ableitung von x² ersten grades ist??)


g(x) ist hier x²+1 und h(y) ist y, oder

dy/dx * y = x²+1

dann trennung der veränderlichen

(x²+1) dx = y * dy die form dy/ h(y) hab ich jetzt nicht!? aber dy * h(y) tuts auch, oder??

so, nun integrieren:

1/3 x³ + x +c = 1/2 y²

2/3 x³ +2x +k = y²

y= sqrt (2/3 x³ + 2x +k)
isi1
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BeitragVerfasst am: 23 Feb 2007 - 19:24:15    Titel:

yvi13 hat folgendes geschrieben:
ohh, ich hab grad eine allgemeinen lösungsweg gefunden
x² + 1 = y * y` (1. 0rdnung, weil die ableitung von x² ersten grades ist??) weil y' und nicht y'' vorkommty= sqrt (2/3 x³ + 2x +k)
Stimmt auffallend Very Happy
yvi13
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BeitragVerfasst am: 23 Feb 2007 - 19:27:00    Titel:

ok, nun stimmt meine lösung also, das ist ja schonmal was, kannst mir trotzdem die anmerkungen und fragen erläutern?
isi1
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BeitragVerfasst am: 23 Feb 2007 - 19:30:03    Titel:

Der Zweck ist doch nur die Trennung der Variablen, wie brabe schon erwähnte. Aber das geht nicht immer so leicht: z.B. y' + f(x)*y - g(x)*y^m = 0
Was ist oben noch nicht klar?
yvi13
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BeitragVerfasst am: 23 Feb 2007 - 19:47:18    Titel:

ok, noch eine aufgabe

y`(x²+1) = 4x³ y

y`/y = 4x³ / x²+1

dy/y = (4x³ / x²+1) dx

nun integrieren:

int. ( dy/y) = int. (- (4x - (4x/ (x²+1)))) dx polynomdivision??



ln y = 2x² -2ln (x²+1) +c substituirt, oder??? help, wie warum und so??

y= e^ (2 x²-2ln (x²+1) +c)

y= k e^(2x²) / ( x²+1)²
yvi13
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BeitragVerfasst am: 24 Feb 2007 - 10:37:53    Titel:

tschuldigung, mein pc hatte sich gestern abend verabschiedet.

also mir machen integrale mit brüchen allgemein probleme.

wann substituiert man? also bei welcher art von funktion und wann integriert man partiell?

ich hab die lösung ja vorliegen,ich mache also erst polynomdivision und komme dann halt auf 4x - (4x/ x²+1 )

x²+1 wird dann zu z

warum? maxch ich das immer bei brüchen?

naja und dann lege ich dz noch als 2x dx fest, das versteh ich auch nicht. also 2x ist die ableitung von z aber wie stehen dz und dx eigentlich im zusammenhang?

joa, ich hab dann also integral 2dz/z = 2ln z = ln (x²+1)
isi1
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BeitragVerfasst am: 24 Feb 2007 - 16:55:22    Titel:

yvi13 hat folgendes geschrieben:
also mir machen integrale mit brüchen allgemein probleme.
ich hab die lösung ja vorliegen,ich mache also erst polynomdivision und komme dann halt auf 4x - (4x/ x²+1 ) Polynomdivision ist allgemein eine gute Idee, wenn der Zähler einen höheren Grad hat als der Nenner
x²+1 wird dann zu z und dann lege ich dz noch als 2x dx fest, das versteh ich auch nicht.
also 2x ist die ableitung von z aber wie stehen dz und dx eigentlich im Zusammenhang?
joa, ich hab dann also integral 2dz/z = 2ln z = ln (x²+1)
Wenn der Restbruch, der bei der Polynomdivision übrig bleibt, zu umfangreich zum Integrieren ist (d.h. man findet sie nicht in der Formelsammlung), dann versucht man Partialbrüche und erhält Einzelbrüche, die man mit Formelsammlung o.ä. integrieren kann.

x²+1 wird dann zu z und dann lege ich dz noch als 2x dx fest
M. E. ist da viel Intuition und Erfahrung dabei:

∫(4x/(x²+1) )dx Substitution mit z = (x²+1) daraus dz/dx = 2x ---> dx = dz/2x

das setzen wir jetzt ein in das Integral:

∫(4x/(x²+1) )dx ---> ∫(4x/z )dx aber da ist noch 4x und dx und wir können keine x mehr brauchen!

Dafür brauchen wir dx = dz/2x, dann wird

∫4x/z dx = 4x/z dz/2x jetzt kann man die 2x kürzen, das ist der Trick, den man beim Substituieren vorhersehen muss. Damit haben wir jetzt

2*∫ dz/z und das schaffen wir Very Happy
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