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a_n=(-1)^n Folge
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> a_n=(-1)^n Folge
 
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JoshPain
Gast






BeitragVerfasst am: 13 Dez 2004 - 13:28:13    Titel: a_n=(-1)^n Folge

Beweis von a_n=(-1)^n
Dann gibt es zu e(epsylon)=1 ein N mit
|a_n - a|<1

2=|a_(n+1) -a_n|=|(a_(n+1) - a) + (a-a_n)|

Kann mir jemand die Zeile erklären (ausführlich)?
Jockelx
Gast






BeitragVerfasst am: 13 Dez 2004 - 14:14:30    Titel:

Was soll 'a' sein (bei einer divergenten Folge) ?

Jockel
JoshPain
Gast






BeitragVerfasst am: 13 Dez 2004 - 15:09:24    Titel:

man nimmt an dass die Folge (a_n) gegen eine reelle Zahl a konvergiert.
Jockelx
Gast






BeitragVerfasst am: 13 Dez 2004 - 15:29:05    Titel:

Das echt immer super, wenn jemand eine ausführliche
Erklärung will, selber aber zu faul ist, die Aufgabe
vollständig anzugeben.
Naja, zumindest kann ich jetzt raten, warum es geht:
Divergenz zeigen.
Da fehlt doch nur noch ein < 1 + 1 (nach Vorraussetzung) = 2
Widerspruch.
JoshPain
Gast






BeitragVerfasst am: 13 Dez 2004 - 15:33:38    Titel:

genau!
Aber meine Frage war, wie man auf die
Zeile 2=|a_(n+1) -a_n|=|(a_(n+1) - a) + (a-a_n)| kommt.
Warum |a_(n+1) -a_n| , ist es das gleiche wie 2*|a_n-a|?
Jockelx
Gast






BeitragVerfasst am: 13 Dez 2004 - 15:46:42    Titel:

Für n gerade gilt doch:

a_n = 1; a_(n+1) = -1, also a_(n+1) - a_n = -1 - 1 = -2, Betrag = 2

für ungerades n entsprechend:

a_n = -1; a_(n+1) = 1, also a_(n+1) - a_n = 1 - (-1) = 2, Betrag = 2

Daher das erste Gleichheitszeichen.
Das zweite ist auch klar, da du ja einfach nur a addierst und wieder
subtrahierst, also nichts veränderst.

Jockel
JoshPain
Gast






BeitragVerfasst am: 13 Dez 2004 - 16:10:37    Titel:

Danke, Jockel
die Zeile habe ich verstanden.
Weiter geht es mit
2=...=|(a_(n+1) - a) + (a - a_n)|<=|a_(n+1) - a| + |a_n - a|
<1+1=2

Das haben sie nach der Dreiecksungleichung gemacht (|x+y|<=|x|+|y|)
Dann müsste nach meiner Vorstellung
nicht |(a_(n+1) - a) + (a - a_n)|<=|a_(n+1) - a| + |a_n - a|
sondern =...=|(a_(n+1) - a) + (a - a_n)|<=|a_(n+1) - a| + |a - a_n| heißen.
Jockelx
Gast






BeitragVerfasst am: 13 Dez 2004 - 16:19:43    Titel:

Ich denke, das wäre dann aber wirklich zuviel der Korrektheit.
Das beide Zeilen gleich sind ist offensichtlich und daher
wurde die 'Version' genommen, in der direkt die Vorraussetzung
|a_n - a| (<1) steht. Deine Zeile wurde also einfach weggelassen.

Jockel
JoshPain
Gast






BeitragVerfasst am: 13 Dez 2004 - 16:37:10    Titel:

Vielen Dank Jockel für deine Bemühungen, ich habe es verstanden!
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