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Wohldefiniertheit und V\U ist K-Vektorraum
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nafets
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Anmeldungsdatum: 09.12.2004
Beiträge: 20

BeitragVerfasst am: 13 Dez 2004 - 22:20:55    Titel: Wohldefiniertheit und V\U ist K-Vektorraum

xaggi
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 14 Dez 2004 - 00:05:34    Titel:

Eine Bitte fürs nächste Mal:

Formeln als Grafik einbinden ist okay, aber schreib doch den Text ganz normal als Text, so dass man ihn markieren und zitieren kann.
algebrafreak
Senior Member
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 14 Dez 2004 - 09:49:30    Titel:

Wohldefiniertheit in dem Kontext bedeutet Unabhängigkeit von der Wahl des Repräsentanten und womöglich zusätzlich Abgeschlossenheit. Für das erste muss Du zeigen, dass für je zwei Repräsentanten aus den Nebenklassen [v'] = v + U und [w'] = w + U die Summe [v'] + [w'] stets (v+w)+U ergibt und analoges für die Skalarmult. Abgeschlossenheit ist hier kein Thema, da Du in einem UVR bist. Ich mache das mal für die Addition:

Sei [v'] = v' + U = v + U und [w'] = w' + U = w + U gegeben. Dann ist ja die Summe [v'] + [w'] definiert durch [v' + w'] = (v'+w') + U. Nun liegen v'' = v' - v und w'' = w' - w in U, denn eine Nebenklasse entsteht ja nach Definition durch eine Äquivalenzrelation u ist äq. zu v genau dann, wenn u-v in U und dem ist oben so. Also kann man nun schreiben [v'+w'] = (v''+v + w''+w) + U = (v+w) + (v'' + w'') + U = (v+w) + U.

Für den Vektorraum musst Du die noch fehlenden Axiome prüfen.
Gast







BeitragVerfasst am: 14 Dez 2004 - 10:24:26    Titel:

Bei der Wohldefiniertheit würde ich erstmal Repräsentantenunabhängigkeit zeigen:
d.h. in einer Nebenklasse liegen doch meistens mehrere Element z.B. v_1 und v_2
und Du mußt zeigen, daß es egal ist, ob Du v_1+U verwendest oder v_2+U

V/U ist die Faktormenge V faktorisiert nach U, d.h. die Menge aller Nebenklassen, und für die mußt Du die Vektorraumeigenschaften nachweisen, also erstmal, daß V/U mit der Addition eine kommutative Gruppe ist und dann noch die Gesetze für die äußere Multiplikation.
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