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Stetigkeit
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Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 14 Dez 2004 - 00:14:32    Titel:

Also f(x) = 2*x² ist eine Parabel und stetig. Am Rande angemerkt, Funktionen die unstetig sind, lassen sich im Allgemeinen nicht in einem Zug zeichnen, da sie oft Sprungstelle oder Polstellen aufweisen.

Dann kommt in Deiner Definition der Absolutwert vor, was nichts anderes bedeutet, als Grenzwert von links und von rechts.

Also, A heißt der Grenzwert einer Funktion f wenn für jedes Epsilon > 0 ein delta > 0 existiert, so dass abs(f(x)-A)<Epsilon für alle x aus D mit abs(x-a) < delta gilt.

Bei der Funktion f(x) = 2*x² ist abs(f(x)-A) = abs(2*x² - 2*a²) an jeder Stelle aus dem Definitionsbereich.
abs(2*x²-2*a²) = abs(2*(x²-a²))

Je kleiner du jetzt delta machst, das heißt den Abstand zwischen x und a, um so kleiner wird auch der Abstand 2*(x²-a²). Beispiel x=1 und a=0,9, dann ist der Abstand x-a = 0,1 und der Abstand 2*(x²-a²) = 0,38.
Wenn Du jetzt den Abstand von x und a weiter verkleinerst, das heißt, a geht gegen x, dann verkleinert sich auch der Abstand der Funktion f(x)-f(a). Das heißt f(x) geht gegen f(a), was nichts weiter ist als der Grenzwert.

Da wir hier keine Einschränkungen für x gemacht haben, gilt das für die ganze Kurve.

Kommst Du mit dem bisherigen einigermaßen klar?

Wenn nicht, lass es mich wissen, allerdings werde ich erst morgen dazu kommen.

Gruß
Andromeda
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 14 Dez 2004 - 09:54:32    Titel:

@Andromeda

tan ist auf seinem Def. Bereich stetig. Wenn Du die Definition von Stetigkeit genauer anschaust, so hast Du für die Stellen, wo die Funktion nicht definiert ist leer Prämissen. Abgesehen davon: Überleg Dir wie die Urbilder offener Mengen bezüglich tan aussehen Smile
a_sprinter
Gast






BeitragVerfasst am: 14 Dez 2004 - 10:07:46    Titel:

Soweit ist mir das klar.

Kann man mit dieser Form auch ein delta bestimmen?

In unseren nicht erklärten Beispielen hatten wir am Ende immer ...< epsilon stehen, so dass wir daraus dann unser delta bestimmen konnten.

Ich weiß nicht so recht, wie ich die Umformungen im allg vornehmen muss, so dass ich eben... < epsilon irgendwann da stehen habe.
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 14 Dez 2004 - 10:34:41    Titel:

@algebrafreak

algebrafreak hat folgendes geschrieben:
@Andromeda

tan ist auf seinem Def. Bereich stetig.


Jou, bitte vielmals um Verzeihung, war ein großer Fehler von mir, den tan als nicht stetig zu erklären. Werde in Zukunft ein bisschen mehr aufpassen.

Gruß
Andromeda
a_sprinter
Gast






BeitragVerfasst am: 14 Dez 2004 - 15:41:02    Titel:

Habe es jetzt so einigermaßen verstanden.

Bleibt noch eine Frage: Kann ich x < x_0 voraussetzen?
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 14 Dez 2004 - 15:52:07    Titel:

a_sprinter hat folgendes geschrieben:
Habe es jetzt so einigermaßen verstanden.

Bleibt noch eine Frage: Kann ich x < x_0 voraussetzen?


Was bitte ist x_0 , das ist bisher in keinem Beitrag aufgetaucht?

Gruß
Andromeda
Gast







BeitragVerfasst am: 14 Dez 2004 - 16:50:14    Titel:

x_0 = a
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 14 Dez 2004 - 16:58:09    Titel:

a_sprinter hat folgendes geschrieben:
Habe es jetzt so einigermaßen verstanden.

Bleibt noch eine Frage: Kann ich x < x_0 voraussetzen?


Nein, x < a führt zum linksseitigen Grenzwert (x nähert sich von links an a an, so dass der Abstand von x und a gegen 0 geht), für den rechtseitigen Grenzwert ist x > a (x nähert sich von rechts an a an, so dass der Abstand gegen 0 geht). Im Grenzfall wäre x = a und f(x) = f(a).

Gruß
Andromeda
a_sprinter
Gast






BeitragVerfasst am: 14 Dez 2004 - 16:59:20    Titel:

einerseits gibt es die Definition mit
abs(x-x_o) < delta => abs(f(x)-f(x_0)) <epsilon

andererseits die Definition abs(x-a) < delta => abs(f(x)-f(a)) < epsilon,

Nach meinen ersten Beiträgen hätte ich dann besser fragen soll, ob ich x < a voraussetzen kann.
Gast







BeitragVerfasst am: 14 Dez 2004 - 17:06:04    Titel:

schade, wäre auch zu einfach gewesen.

bin immer noch bei meiner Funktion f(x) = 2x^2

setze in Definition ein:

If(x)-f(a)I = I2x^2 - 2a^2I = 2 * Ix² - a²I = 2* I(x-a) * (x+a)I < 2 * Ix+aI*d (w)

I - Betragsstriche
d= delta

(w) kann ich aber noch nicht gleich epsilon setzen, da es ja noch von x abhängig ist. wie muss ich weiter umformen, damit ich das x auslösche?
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