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Stetigkeit
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Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 14 Dez 2004 - 19:09:24    Titel:

Also jetzt werde ich mal versuchen, das Ganze Schritt für Schritt zu erklären.
Die Bedingungen für die Stetigkeit wurden bereits weiter oben erwähnt.

1.
Ich nehme ein beliebig kleines ε für welches gilt

Abs[f(x) – f(a)] < ε =>
Abs[2x² - 2a²] < ε

Um die Absolutwerte zu umgehen, mache ich jetzt Fallunterscheidungen.


Rechtseitiger Grenzwert und a >= 0, das heißt x > a und somit auch x² > a² und somit auch f(x) > f(a).

Dann gilt

2x² - 2a² < ε =>
x² - a² < ε/2 =>
x² < ε/2 + a² =>
x < SQRT[ε/2 + a²] =>
x – a < SQRT[ε/2 + a²] – a

2.
Nun kann ich δ wie folgt wählen: δ= SQRT[ε/2 + a²] – a
Somit habe ich

x – a < δ

Also existiert für jedes ε ein δ (nämlich SQRT[ε/2 + a²] – a) so dass wenn

f(x) – f(a) < ε dann ist
x – a < δ

Jetzt müsste man das ganze noch für den linksseitigen Grenzwert berechnen, aber das geht genau so. Man müsste natürlich bei der Wurzel nur das positive Ergebnis wählen. Aber solche Bedingungen setze ich jetzt einfach voraus, sonst wird es nicht mehr verständlich.
Man kann anstatt der Fallunterscheidungen vermutlich auch mit den Beträgen rechnen, aber dann wird es für den Anfang zu unübersichtlich.

Gruß
Andromeda
a_sprinter
Gast






BeitragVerfasst am: 14 Dez 2004 - 21:31:04    Titel:

@ Andromeda

Vielen Dank für deine Ausführungen!
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