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Lineare Gleichungssysteme
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Matze84
Gast






BeitragVerfasst am: 14 Dez 2004 - 01:04:03    Titel: Lineare Gleichungssysteme

servus leute, ich hab hier ne scheiß aufgabe zu berechnen und hab kein plan wie dat gehen soll, könnt ihr mir helfen ???
AUFGABE:
eine fabrik will von zwei geräten, 1 und 2, zusammen bis zu 200 stück herstellen. die dafür
benötigten maschinen stehen für höchstens 600 arbeitsstunden zur verfügung. für die herstellung
eines gerätes 1 sind 2 maschinenstunden, für die herstellung eines gerätes2 8 maschinenstunden
nötig. die herstellungskosten pro gerät betragen ohne berücksichtigung der arbeitszeit 80dm für 1
und 160dm für 2. für diese herstellungskosten sollen insgesamt nicht mehr als 17 600dm eingesetzt
werden. der gewinn an einem gerät 1 beträgt 15dm, an einem gerät 2 45dm. wieviel stück wird man von
jedem der beiden geräte herstellen, wenn der gesamtgewinn möglichst groß sein soll?

hoffe ihr könnt mir den lösungsweg aufzeigen dass ich des mal kappier Question
mfg matze
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
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BeitragVerfasst am: 14 Dez 2004 - 01:13:40    Titel:

Hallo Matze,

zunächst müssen wir aus dem Text die relevanten Informationen extrahieren und in Gleichungen bzw. Ungleichungen darstellen:
Zitat:
eine fabrik will von zwei geräten, 1 und 2, zusammen bis zu 200 stück herstellen

Die Anzahl die von Maschine 1 hergestellt wird nenne wir x, die von der 2. y.
x + y <= 200
Zitat:
die dafür
benötigten maschinen stehen für höchstens 600 arbeitsstunden zur verfügung. für die herstellung
eines gerätes 1 sind 2 maschinenstunden, für die herstellung eines gerätes2 8 maschinenstunden
nötig.

2*x + 8*y <= 600
Zitat:
die herstellungskosten pro gerät betragen ohne berücksichtigung der arbeitszeit 80dm für 1
und 160dm für 2. für diese herstellungskosten sollen insgesamt nicht mehr als 17 600dm eingesetzt
werden.

80*x + 160*y <= 17600
Zitat:
der gewinn an einem gerät 1 beträgt 15dm, an einem gerät 2 45dm

Max f(x,y) = 15*x + 45*y
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 14 Dez 2004 - 01:20:08    Titel:

Da ich nicht weiss, worin Dein Problem genau liegt, gebe ich Dir mal die Lösung vor:
x = 140
y = 40
(Die Lösung wurde mit dem Simplex ermittelt.)
Gast







BeitragVerfasst am: 14 Dez 2004 - 01:21:37    Titel:

ok das is schonma super von dir, nun fehlt mir nur noch den zwischenschritt, zwischen dem erstellen der einzelnen formeln und dem ergebnis, was macht man mit den einzelnen formeln, bzw wie setzt man sie ins verhältnis ???

mfg matze
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
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BeitragVerfasst am: 14 Dez 2004 - 01:41:32    Titel:

In welcher Klasse bist Du bzw. was in welchem Semester studierst Du. Um zu wissen, welche Verfahren ich verwenden kann, wären die Informationen sinnvoll.
Gast







BeitragVerfasst am: 14 Dez 2004 - 20:56:25    Titel:

das ist eigentlich nicht für mich, sondern für ne freundin aus der 9. klasse gymnasium
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 14 Dez 2004 - 22:42:43    Titel:

Mhm 9. Klasse, da muss ich mal überegen, mit welchen Mitteln man das da vielleicht zeigen könnte.

Unser Problem ist also:
Max f(x,y) = 15*x + 45*y
unter den Nebenbedingungen:
x + y <= 200
2*x + 8*y <= 600
80*x + 160*y <= 17600

Ich forme die Ungleichungen mal etwas um, so dass vor dem x kein Faktor mehr steht. (Muss man nicht machen, aber in dem Fall sieht man dann schon etwas mehr.)
x + y <= 200
x + 4*y <= 300
x + 2*y <= 220
Man kann jede dieser Ungleichung als eine Art Kostenungleichung ansehen. In der ersten "kostet" die Produktion beider Güter gleich viel, in der 2. ist das 2. 4 mal so teuer und in der 3. 2 mal so teuer.

In der Uni wird so ein Problem iterativ gelöst. Zunächst startet man bei der Produktionsmenge x=0 und y=0 und einem Gewinn von 0. Man sucht sich in der Zielfunktion das Gut, das am meisten Gewinn erzeugt. Hier ist das Gut 2. Nun wird über die Ungleichungen ermittelt, wie viel maximal davon hergestellt werden kann.
Ungleichung 1: 200/1 = 200
Ungleichung 2: 300/4 = 75
Ungleichung 3: 220/2 = 110
Also haben wir nun die Produktionsmengen x=0 und y=75 bei einem Gewinn von 15*0+45*75=3375.

Wenn wir mal die 75 für y in die Ungleichungen einsetzen, dann ergibt sich:
x + 75 <= 200
2*x + 8*75 <= 600
80*x + 160*75 <= 17600

x <= 125
2*x <= 0
80*x <= 5600
Beschränkt die 2. Ungleichung die Produktion von Gut 1 und Gut 2.
Vielleicht kann aber durch Reduktion der Produktionsmenge von Gut 2 und Erhöhung der Menge von Gut 1 der Gewinn erhöht werden.
In der Zielfunktion/Gewinnfunktion ist Gut 2 3 mal mehr wert als Gut 1:
Wert(y)/Wert(x) = 45/15 = 3/1
Die "Kosten" in Unglechung 2 Verhalten sich:
Kosten(y)/Kosten(x) = 8/2 = 4/1

Man kann das auch so darstellen:
Kosten(y)/Wert(y) = 8/45 > Kosten(x)/Wert(x) = 2/15
Da die relativen Kosten von y höher sind als von x, kann Durch eine Erhöhung von x auch der Gewinn erhöht werden.
Nun sollte x so weit erhöht werden und y entsprechend verringert werden.

Aber wie man nun sinnvoll weiter macht, also dass es nicht zu schwer wird, kann ich auch nicht sagen.

(Zunächst könnte man davon ausgehen, dass Ungleichung 2 als Gleichung erfüllt ist, also:
x + 4*y = 300
x = 300 - 4*y
und das Ganze in die 3. Gleichung (weil 5600/80<125/1) einsetzen.)
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