algebraische u geometrische vielfachheit

Gast

hallo leute!

ich hab folgendes Problem:

Gegeben ist ein Vektor A:
( 1 0 1 )
( 0 1 1 )
( 1 1 0 )

Ich muss jetzt Eigenwerte, Eigenvektoren, die algebraische u. geometrische vielfachheit berechnen.

Eigenwerte + -vektoren waren kein problem...wie schaut es aber mit der alg. u. geom. vielfachheit aus? hab im moment eigentlich keine ahnung, was ich genau machen soll...wäre also füre jede hilfe dankbar.

lg chris

Weasel · Gast

Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes ist einfach Anzahl des Auftauchen des Eigenwertes.

Die geometrische Vielfachheit ist die Anzahl der linear unabhängigen Eigenvektoren.

BSP:

Deine Matrix hat ein Characteristisches Polynom wie folgt:

s³-2*s²-s+2

Daraus ergeben Sich die Eigenwerte
-1, 1, 2

Da jeder Eigenwert nur einmal auftaucht ist die algebraische Vielfachheit jedes Eigenvektors 1

Jetzt bilden wir die Eigen Vektoren:

zu -1: <-1,-1,2>
zu 1: <-1,1,0>
zu 2:<1,1,1>

Diese sind alle drei linear unabhängig voneinander daher ist die geometrische Vielfachheit 3

Gruß Weasel

HansWurst0815 · Newbie Anmeldungsdatum: 03.10.2009 Beiträge: 2

Das ist nicht ganz richtig was herr Weasel geschrieben hat.

Alleine die aussage, dass stets geometrische vielfachheit <= algebraischer. vielfachheit belegt, dass die antwort nicht ganz richtig sein kann.

Alg. VFH ist richtig. Wie oft ein Eigenwert auftaucht. (zB im charakt. Polynom)

Die geometrische VFH gibt die anzahl der linearen unabhänigen Eigenvektoren zu einem Eigenwert an oder anderes und einfacher geschrieben: "wie viele Eigenvektoren zu einem Eigenwert gehören".

cyrix42 · God of Posting Anmeldungsdatum: 14.08.2006 Beiträge: 21410

Herzlichen Glückwunsch: Du hast einen Thread von vor 5 Jahren wieder reaktiviert um zwei Leuten, die hier genau einen Beitrag geschrieben haben, zu sagen, dass sie sich damals vertan haben...

Cyrix
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HansWurst0815 · Newbie Anmeldungsdatum: 03.10.2009 Beiträge: 2

ich fand es wichtig, dass es richtig gestellt wird. ich bin durch google darauf gestoßen. das heißt, dass auch andere studenten von der TU-Berlin im Modul Lineare Algebra darauf stoßen werden und dann eine falsche Antwort lesen.

wo wir schon beim dumm anmachen sind, ich habe nur einen gesagt, dass er sich vertan hat!

cyrix42 · God of Posting Anmeldungsdatum: 14.08.2006 Beiträge: 21410

Na dann. Wenn du es aus dokumentarischen Gründen getan hast, dann tobe dich nur aus. Hier im Forum werden noch einige Tausend Fehler zu finden sein... Wink

Cyrix
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Goti · Newbie Anmeldungsdatum: 08.01.2010 Beiträge: 5

also ich muss sagen, da ich heute, also nach quasi 6 Jahren diesen Threat lese, finde ich es ziemlich gut, dass er verbessert wurde.

Ich wüsste jetzt ganz gerne, was denn die geometrische Vielfachheit dieser Aufgabe ist.

Müsste sie dann nicht 1 sein?

Viviane21 · Senior Member Anmeldungsdatum: 08.02.2007 Beiträge: 2203

Sollte. Und ich scheiter seit gut einer Stunde an einem ganz simplen Problem: Wie schreibt man einen Eigenraum auf?

Der Eigenraum zu -1 müsste doch sein: Nullvektor, (-1, -1, 2) und alle Vielfache davon. Nur: Wie schreibt man das?

Viviane21 · Senior Member Anmeldungsdatum: 08.02.2007 Beiträge: 2203

Sollte. Und ich scheiter seit gut einer Stunde an einem ganz simplen Problem: Wie schreibt man einen Eigenraum auf?

Der Eigenraum zu -1 müsste doch sein: Nullvektor, (-1, -1, 2) und alle Vielfache davon. Nur: Wie schreibt man das?

M_Hammer_Kruse · Senior Member Anmeldungsdatum: 06.03.2006 Beiträge: 4772 Wohnort: Kiel

Das ist also das Erzeugnis des Vektors (-1, -1, 2). Da gehört der Nullvektor automatisch als 0*(-1, -1, 2) dazu.

Ein Erzeugnis schreibt man, indem man alle erzeugenden Elemente in spitzen Klammern <> aufzählt. Da es hier nur um den genannten Vektor geht, schreibst Du also <(-1, -1, 2)>.

Gruß, mike
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√∞≠≤≥±≈∫≡¼⅓½⅔¾∧∨¬∈⊂⊄∩∪∂
αβγδεηκλμνπρσφωΓΔΘΛΣ

Annihilator

Oder du schreibst die Menge eben hin wie sonst auch:

eig(-1)
= <(-1, -1, 2)>
= {r · (-1, -1, 2) | r € R}
= R · (-1, -1, 2)
_________________
Schnauze voll von Error 500 und co?
bildungs-foren.de

Tonxxx · Junior Member Anmeldungsdatum: 29.06.2010 Beiträge: 19

Hallo auch nach 8 Jahren ist dises Thema noch hoch aktuell. Ich freue mich, dassderFehler korrigiert wurde, schliesslich ist dieser Forenbeitrag bei google, einer der ersten treffer wenn mann nach geo. VFH sucht!

Vielen Dank