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Folge, Beweis richtig?
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Folge, Beweis richtig?
 
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Marl
Gast






BeitragVerfasst am: 14 Dez 2004 - 23:03:53    Titel: Folge, Beweis richtig?

a_n=(n+1/2n+1)^n^2

Sei epsylon>0, dann gibt es ein N>?,
sodass für alle n>=N gilt
|(n+1/2n+1)^n^2|
=(n^3+n^2)/(2n^3+n^2)
=(habe Zähler und Nener mit 1/n^3 mult.)
=(1+1/n)/(2+1/n)
=da 1/n gegen Null geht=1/2

Stimmt es, dass die Folge gegen 1/2 für n->unendlich?

Was kann ich für N schreiben?
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 14 Dez 2004 - 23:23:48    Titel:

Wenn Du nur zeigen sollst, dass es ein N gibt, dann brauchst Du keines angeben.

Was soll denn a_n=(n+1/2n+1)^n^2 heißen?
a_n=(n+1/2n+1)*n^2 ???
a_n=(n+1/2n+1)^(n^2) ???
a_n=[(n+1/2n+1)^n]^2 ???

Auf KEINEN Fall ist es aber (n^3+n^2)/(2n^3+n^2).
Gast







BeitragVerfasst am: 14 Dez 2004 - 23:29:17    Titel:

Sorry, das sollte so heißen:
a_n=((n+1)/(2n+1))^(n^2)
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 14 Dez 2004 - 23:47:37    Titel:

a_n=((n+1)/(2n+1))^(n^2)
a_n=(n+1)^(n^2) / (2n+1)^(n^2)

Was Deine Aufgabenstellung ist hast Du ja nicht geschrieben, ich vermute mal Du sollst den Grenzwert für n->oo bestimmen, der ist 0, weil
(n+1)/(2n+1) < 1 (für große n =1/2) und 1/2^(oo) = 0.

Aber wie man das nun "ordentlich" zeigt ... ?
Gast







BeitragVerfasst am: 15 Dez 2004 - 00:02:24    Titel:

a_n=((n+1)/(2n+1))^(n^2)

lim(n->(oo)) ((n+1)/(2n+1))^(n^2)
=(n+1)^(n^2) / (2n+1)^(n^2)

Da (n+1)<(2n+1) => ((n+1)^(n^2) / (2n+1)^(n^2))<1

=>(((n+1)^n)/((2n+1)^(n^2)))<1/n=0

Stimm so der Beweis?
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
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BeitragVerfasst am: 15 Dez 2004 - 00:16:49    Titel:

Nein, der Beweis stimmt so nicht.

Also anscheinend hast Du ein Problem, Exponenzieren und Multiplizieren auseinander zu halten.
a^(n^2) = 1
kann NICHT zu
a^n = 1/n vereinfacht werden!

(a^(n^2))^(1/n) = 1^(1/n)
a^(n^2*1/n) = 1^(1/n)
a^(n*n*1/n) = 1^(1/n)
a^n = 1^(1/n)
marl
Gast






BeitragVerfasst am: 15 Dez 2004 - 00:36:10    Titel:

Erlöse mich,
kann nicht mehr klar denken.
Schreib doch bitte die Lösung hin.
Ich habe keine Lust mehr, will schlafen.
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 15 Dez 2004 - 00:40:10    Titel:

a_n = ((n+1)/(2n+1))^(n^2)

lim n->oo [a_n]
= lim n->oo [((n+1)/(2n+1))^(n^2)]
Entweder man zeigt hier, dass lim n->oo [(n+1)/(2n+1)] = 1/2 ist und dann lim n->oo [(1/2)^(n^2)] = 0, aber im Grunde ist diese Trennung nicht erlaubt.

Wir könnten das aber weiter vereinfachen:
((n+1+n-n)/(2n+1))^(n^2)
((2n+1-n)/(2n+1))^(n^2)
((2n+1)/(2n+1) - n/(2n+1))^(n^2)
(1 - n/(2n+1))^(n^2)
Wenn wir hier beweisen können, dass 0 < (1 - n/(2n+1)) < 1 für alle n ab einem N, dann haben wir das Problem gelöst, oder auch:
1 > n/(2n+1) > 0 für alle n ab einem N (es muss auch gelten: lim n->oo [n/(2n+1)] ungleich 0

Wie leicht zu sehen ist, gilt:
n/(2n+1) < n/2n = 1/2

Für n=1 gilt:
n/(2n+1) = 1/(2*1+1) = 1/3
Wenn wir nun zeigen, dass a_n monoton steigend ist, dann haben wir gezeigt, dass:
1/3 < n/(2n+1) < 1/2 (s.o.)

Zu zeigen ist also:
n/(2n+1) < (n+1)/(2(n+1)+1)
n/(2n+1) < (n+1)/(2n+3)
n*(2n+3) < (n+1)*(2n+1)
2n²+3n < 2n²+3n+1
0 < 1
Was zu zeigen war.


Damit ist gezeigt, dass
1/3 < n/(2n+1) < 1/2
1/2 < (1 - n/(2n+1)) < 2/3
lim n->oo [((n+1)/(2n+1))^(n^2)] < lim n->oo [(2/3)^(n^2)] = 0
lim n->oo [((n+1)/(2n+1))^(n^2)] = 0


Sorry, das das nun so lang geworden ist, aber eine kürzere Lösung sehe ich eben nicht, das ginge nur, wenn Du schon Grenzwerte von anderen Folgen kennst und die Eigenschaften hier einsetzen kannst. Z.B. zwei Folgen, die diese hier einschießen und beide einen Grenzwert von 0 haben.
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 15 Dez 2004 - 00:42:10    Titel:

Wenn das mit der Lösung so einfach gewesen wäre, dann hätte ich sie Dir schon längst erklärt und hingeschrieben. Ich bin auf dem Gebiet auch nicht mehr ganz so fit.

Wenn Du noch Fragen hast, dann versuche ich sie Dir zu erklären.
Marl
Gast






BeitragVerfasst am: 15 Dez 2004 - 00:47:20    Titel:

ICH BIN DIR VOM GANZEN HERZEN DANKBAR!
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