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Winkel eines Trapez mittels der Seitenlänge ausrechnen
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_Joker_
Gast






BeitragVerfasst am: 15 Dez 2004 - 22:53:12    Titel: Winkel eines Trapez mittels der Seitenlänge ausrechnen

Hi,
kann man die Winkel von einem Trapez mit Hilfe der Seitenlängen ausrechnen?
Gegeben: a=13 b=5 c=9 d=4
kann man aus diesen Angaben Alpha Beta Gamma Delta ausrechnen?

Bitte die Lösung dazu posten. Dankejavascript:emoticon('Laughing')
aldebaran
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Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 16 Dez 2004 - 00:18:47    Titel:

Hi,
man kann:
ist mit den Punkten A,B,C, und D mit den Seiten a,b,c,d und den Winkeln alpha, beta, gamma und delta ein mathematisch positives Trapez mit den parallelen Seiten a||c, dann gilt für den Winkel beta die Bestimmungsgleichung:

d*cos[arccos[b/d * sin(beta)]] + b*cos(beta) = a-c

mit den Zahlen der Aufabe:
4*cos[arccos[5/4 * sin(beta)]] + 5*cos(beta) = 4; darin ist beta = 0,8957 rad = 51,31983°

Winkel alpha = arcsin(b/d * sin(beta)) = arcsin(5/4*sin(51,31983)) = 77,371581°
Winkel gamma = 180 - beta = 128,68017°
Winkel delta = 180 - alpha = 102,62842°


Zuletzt bearbeitet von aldebaran am 16 Dez 2004 - 00:21:52, insgesamt 2-mal bearbeitet
Gast







BeitragVerfasst am: 16 Dez 2004 - 00:19:28    Titel:

Hi, zeichne die Höhe (2mal: rechts und links), dann wird einiges klarer sein. Ich denke, mit mehreren sin/cos Gleichungen kann man die Aufgabe lösen.
hartwork
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Anmeldungsdatum: 21.06.2004
Beiträge: 109
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 16 Dez 2004 - 00:47:50    Titel:

ja, das geht...

benennung der eckpunkte:
DC
AB

längen:
AB = 13
BC = 5
CD = 9
DA = 4

AB und CD seien die parallelen seiten.


## LÖSUNG ##
wir legen eine parallele zu BC durch D.
dadurch teilen wir das trapez in ein parallelogramm und ein dreieck.
S sei der schnittpunkt dieser parallelen und der seite AB.
die strecke AS hat dann die länge 13-9 = 4.

wir betrachten nun das dreieck a=SD, b=DA, c=SA.


(1) mit hilfe des kosinussatzes berechnen wir den winkel an A:

a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos(alpha)
<=> 2*b*c*cos(alpha) = b^2 + c^2 - a^2
<=> alpha = arccos((b^2 + c^2 - a^2) / (2*b*c))
<=> alpha = arccos((16 + 16 - 25) / 32)
<=> alpha = arccos(7/32)
<=> alpha = arccos(0,21875)
<=> alpha = 77,36°


(2) der winkel an D lässt sich per innenwinkelsummensatz berechnen:

delta = (90° - alpha) + 90°
<=> delta = 102,64°


(3) der winkel an B ist gleich dem an S.
den winkel an S berechnen wir per sinussatz:

sin(beta)/b = sin(alpha)/a
<=> sin(beta) = b/a*sin(alpha)
<=> beta = arcsin(b/a*sin(alpha))
<=> beta = arcsin(4/5*sin(77,36°))
<=> beta = arcsin(0,78061)
<=> beta = 51,31°


(4) der winkel an C lässt sich ebenfalls per innenwinkelsummensatz berechnen:

gamma = (90° - beta) + 90°
<=> gamma = 128,69°
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