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bei welchen Zahlenpaaren ist die Gleichung erfüllt?
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Katimh
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Anmeldungsdatum: 19.10.2004
Beiträge: 35

BeitragVerfasst am: 16 Dez 2004 - 17:30:24    Titel: bei welchen Zahlenpaaren ist die Gleichung erfüllt?

Ich habe folgende Aufgabe:

Bestimme alle Paare von Null verschiedener natürlicher Zahlen, die die Gleichung 2*a + 2*b = a*b erfüllen.

Ich habe jetzt die Gleichung schoumgestellt .... demnach komme ich zu dem Schluß, daß die Gleichung von keinem Zahlenpaar erfüllt werden kann. Kann aber nicht hinkommen.

Bitte um Hilfe Sad
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 16 Dez 2004 - 18:30:22    Titel: Re: bei welchen Zahlenpaaren ist die Gleichung erfüllt?

Katimh hat folgendes geschrieben:
.... demnach komme ich zu dem Schluß, daß die Gleichung von keinem Zahlenpaar erfüllt werden kann. Kann aber nicht hinkommen.

Bitte um Hilfe Sad


Da kannst Du auch nicht hinkommen, denn für das Zahlenpaar 3 und 6 ist die Bedingung erfüllt.

2*3 + 2* 6 = 6 + 12 = 18 = 3 * 6

Gruß
Andromeda
Katimh
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Anmeldungsdatum: 19.10.2004
Beiträge: 35

BeitragVerfasst am: 16 Dez 2004 - 18:59:27    Titel:

Danke schonmal.

Hast du denn auch eine Idee, wie man dies beweisen, bzw. allgemeiner feststellen kann?
Die Aufgabe ist ja, alle Zahlenpaare zu finden, für die die Gleichung gilt.
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 16 Dez 2004 - 19:30:54    Titel:

Bin am Überlegen, aber Zahlentheorie ist nicht so mein Ding.
Gebe mir Mühe.
Gruß
Andromeda
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 16 Dez 2004 - 23:05:10    Titel:

2*a + 2*b = a*b

2*b = a*b - 2*a
2*b = a*(b - 2)
2*b/(b - 2) = a
oder
2*a/(a - 2) = b

(a-2) > 0 => a > 2
analolg b > 2

2*a/(a - 2) muss ganzzahlig sein:
a=3: 6/1 ist ganzzahlig
a=4: 8/2 ist ganzzahlig
a=5: 10/3
a=6: 12/4 ist ganzzahlig
a=7: 14/5
a=8: 16/6

Ab hier müsste doch es doch zu zeigen sein, dass es kein größeres a gibt, so dass b ganzzahlig ist.

2*a/(a - 2)
= 2*a/(a - 2) - 4/(a - 2) + 4/(a - 2)
= (2*a-4)/(a - 2) + 4*(a - 2)
= 2*(a - 2)/(a - 2) + 4/(a - 2)
= 2 + 4/(a - 2)
Wie zu erkennen ist ergeben sich ganzzahlige Lösungen nur für:
(a - 2) <= 4
a <= 6


Die einzigen Lösungen lauten somit
a = 3, b = 6
a = 4, b = 4
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