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weitere umkehraufgabe
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geli_th
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Anmeldungsdatum: 07.12.2004
Beiträge: 66

BeitragVerfasst am: 19 Dez 2004 - 12:42:05    Titel: weitere umkehraufgabe

hi
Des ist schon wieder eine Unkehraufgabe, ähnlich wie die letzte, doch ich kapier einfach nicht wie ich eine lösung finde

Der Graph der Funktion f: y = x^3 + bx^2 + cx +d geht durch den Punkt P (2|3) und hat in T (1|-1) den Tiefpunkt. In seinem Wendepunkt wird er vom Graphen der Funktion g: y = px^2 + qx + r berührt. Der Scheitel von g liegt an der Stelle -1. Wie heißen die Funktionen?

bis dahin bin ich selbst gekommen
P e f: -5 = 4b + 2c +d
T e f: -2 = b + c + d
f ' (1) = 0 : f ' (x) = 3x^2 + 2bx + c
-3 = 2b + c
g ' (-1) = 0: g '(x)= 2px +q
0 = -2p + q
ich habe keine Ahnung ob des stimmt und wenn es richtig wäre, was bringt mir das? damit kann ich mir keine einzige Variable ausrechnen

lg geli
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 19 Dez 2004 - 13:10:41    Titel:

Soweit ich das in aller Kürze gesehen habe, hast Du alles richtig gemacht. Du hast nur eine Bedingung ausgelassen, nämlich, dass sich die Kurven im Wendepunkt von f berühren.

Berühren heißt zum einen, dass bei Kurven durch einen gemeinsamen Punkt gehen und zum anderen, dass in diesem Punkt beide Kurven die gleiche Steigung (1. Ableitung) haben.

Du musst also noch den Wendepunkt von f ausrechnen (f'' = 0) und die Steigung in diesem Wendepunkt (f'), die ja in diesem Punkt = g' ist, da sich die Kurven berühren.

Mit diesen Werten kannst Du dann alle Variablen bestimmen.

Gruß
Andromeda
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 19 Dez 2004 - 13:19:08    Titel:

Du solltest versuchen Dir das vorzustellen, oder eine Skizze machen mit allem was gegeben ist, dann wird das viel einfacher...

Laughing

Oder das Gleichungssystem lösen:

(1)...4b + 2c + d = -5
(2)...b + c + d = -2
(3)...2b + c = -3

(1) - (2): (4b-b) + (2c-c) + (d-d) = (-5-(-2))
(4)...3b + c = -3

(4) - (3): (3b-2b) + (c-c) = (-3-(-3))
(5)...b = 0

(6)...(5) in (3): c = -3
(5)und(6) in (2): d = 1

Das ergibt dann:
f(x)=x³ + 0 * x² + (-3) * x + 1 = x³ - 3x + 1
wild_and_cool
Moderator
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 19 Dez 2004 - 13:35:10    Titel:

Jetzt noch die Wendestelle von f bestimmen:
f= x³ - 3x + 1
f'=3x² - 3
f''=0 --> f''=6x --> x=0

Dann zu g:
g=px² + qx + r
g'=2px + q
g''=2p

Berührpunkt bedeutet, das beide Tangentensteigungen im Berührpunkt gleich sind :

f'(0) = g'(0) --> -3 = q

Aber auch, das beide Gleichungen gleich sind:
f(0) = g(0) --> 1 = r

Jetzt noch Scheittel bei x=-1:
g'(-1) = -2p + q --> 2p = q -->mit q=-3--> p = (-3/2)

Damit g= (-3/2)x² - 3x + 1
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