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Berechnung Grenzwerte ohne de l'Hopital
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Berechnung Grenzwerte ohne de l'Hopital
 
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aNoPha
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Anmeldungsdatum: 06.12.2004
Beiträge: 36

BeitragVerfasst am: 22 Dez 2004 - 16:41:23    Titel: Berechnung Grenzwerte ohne de l'Hopital

Ich habe Probleme bei der Berechnung folgender Grenzwerte. Dabei soll nicht die Regel de l'Hopital verwendet werden.
Könnte mir bitte jmd. helfen?

lim [ a * sin (b x ) ] / [ c*x ]
x->0

Hier ist die Lösung. Für mich ist das aber nicht ausführlich genug.


-------------------------------------------------------------
Warum ist der Grenzwert folgenden Ausdrucks = 3/2 ?



--------------------------------------------------------------
Und die letzte Frage:

lim x * sin (1/x)
x->0
Hier soll 0 rauskommen. Könnte das jmd. kurz erläutern?
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 22 Dez 2004 - 17:00:07    Titel: Re: Berechnung Grenzwerte ohne de l'Hopital

aNoPha hat folgendes geschrieben:
Warum ist der Grenzwert folgenden Ausdrucks = 3/2 ?




Dieser Teil ist schnell gelöst (Zähler in ROT).

sin(x) kürzt sich raus, so dass der Zähler lautet

3 - 4*sin²(x)

Dann bleibt im Nenner

8*cos^4(x) - 6*cos²(x)

Für x -> geht sin²(x) gegen 0, so dass im Zähler bleibt:

3

cos^4(x), wie auch cos²(x) gehen gegen 1 für x ->0, so dass im Nenner bleibt:

8-6 = 2

Also ist der Grenzwert = Zähler/Nenner =

3/2

Gruß
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 22 Dez 2004 - 17:10:56    Titel: Re: Berechnung Grenzwerte ohne de l'Hopital

aNoPha hat folgendes geschrieben:

Und die letzte Frage:

lim x * sin (1/x)
x->0
Hier soll 0 rauskommen. Könnte das jmd. kurz erläutern?


Das ist auch noch einfach.

Wenn x -> 0 geht, dann geht 1/x gegen unendlich. Der Sinus nimmt aber nie größere Werte als (+-) 1 an, egal wie groß das Argument ist.

Also kann ich als Grenze für den lim ansetzen:

x * (+-)1

Da x gegen 0 geht, geht die Grenze des Limes x * (+-)1 ebenfalls gegen 0.

Gruß
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 22 Dez 2004 - 17:26:32    Titel: Re: Berechnung Grenzwerte ohne de l'Hopital

aNoPha hat folgendes geschrieben:

lim [ a * sin (b x ) ] / [ c*x ]
x->0

Hier ist die Lösung. Für mich ist das aber nicht ausführlich genug.



Hier müsste man wissen, wo es Dir unklar ist.

Dass man a/c vorziehen kann, dürfte verständlich sein.

Der letzte Ausdruck

lim (sin(x)/x) = 1 ist gleichbedeutend mit

lim (sin(b*x)/(b*x)) = 1

Dann kann man das b im Nenner auf die andere Seite ziehen, so dass

lim (sin(b*x)/x) =b

Multipliziert mit dem herausgezogenen a/c ergibt

lim = (a/c)*b

Gruß
Andromeda
aNoPha
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Anmeldungsdatum: 06.12.2004
Beiträge: 36

BeitragVerfasst am: 22 Dez 2004 - 21:13:47    Titel:

Danke erstmal für deine schnellen Antworten.
Die ersten beiden Fragen sind geklärt. War ja eigentlich ganz einfach, aber das ist nachher ja meistens so.

Ich hätte aber nochmal eine Frage bezüglich der letzten Aufgabe:
Das ich a und c vorziehen kann ist mir klar, aber wie kommst du jetzt auf sinx /x ?
Wenn x gegen 0 konvergiert, ist sin 0 doch 0. Und 0 / 0 ist ja kein bestimmter Ausdruck, oder?
Und was meintest du, mit b auf die andere Seite ziehen? Könntest du dort nochmal bitte einhaken?

Ich wäre dir sehr dankbar!
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 22 Dez 2004 - 21:29:44    Titel:

Also, das sin(x)/x ist direkt aus Deiner Lösungsskizze. Dort steht (kann es leider nicht so graphisch darstellen):

lim sin(x)/x = 1 für x->0. Es ist der letzte Term in der langen Zeile.

wenn aber lim sin(x)/x = 1 ist, dann ist auch lim [sin(b*x)/(b*x)] = 1

Jetzt kann ich mit b multiplizieren (b ist eine Konstante und ich kann sie somit auch vor den lim ziehen), dann habe ich aus

(1/b) * lim [sin(b*x)/x] = 1 die Gleichung

lim [sin(b*x)/x] = b


(das meinte ich mit b auf die andere Seite ziehen).

Gruß
Andromeda
aNoPha
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Anmeldungsdatum: 06.12.2004
Beiträge: 36

BeitragVerfasst am: 22 Dez 2004 - 22:51:43    Titel:

Aber wie kommt man mathematisch gesehen auf

sin x / x = 1 , wenn x gegen 0 konvergiert.

Genau mit dieser langen Zeile habe ich ein Problem. Kannst du das erklären bzw. herleiten?

Die zweite Frage lautet: Wie kommst du vom folgenden erstem zum zweiten Ausdruck? Wie ist es möglich b dann gleichzeitig im Zähler und Nenner zu haben?

lim (sin(x)/x) = 1

lim (sin(b*x)/(b*x)) = 1
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 22 Dez 2004 - 23:16:23    Titel:

aNoPha hat folgendes geschrieben:
Aber wie kommt man mathematisch gesehen auf

sin x / x = 1 , wenn x gegen 0 konvergiert.

Genau mit dieser langen Zeile habe ich ein Problem. Kannst du das erklären bzw. herleiten?

Die zweite Frage lautet: Wie kommst du vom folgenden erstem zum zweiten Ausdruck? Wie ist es möglich b dann gleichzeitig im Zähler und Nenner zu haben?

lim (sin(x)/x) = 1

lim (sin(b*x)/(b*x)) = 1


Fange jetzt mal mit dem zweiten an, da ich gerade noch mit was anderem beschäftigt bin.

Wenn lim (sin(x)/x) gegen 0 für x -> 0 dann gilt natürlich auch
lim (sin(x')/x') gegen 0 für x' -> 0 .

Diese beiden Aussagen sind identisch.

Da b eine Konstante ist, gibt es für jedes x' ein x, so dass x' = b*x.

Also kann ich statt

lim (sin(x')/x') gegen 0 für x' -> 0

auch schreiben

lim (sin(b*x)/(b*x) gegen 0 für b*x -> 0

und wenn b*x gegen 0 geht, dann geht auch x gegen 0.

Also gilt

lim (sin(b*x)/(b*x) gegen 0 für x -> 0

Melde mich wegen des ersten Teils später noch ein mal.

Gruß
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
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BeitragVerfasst am: 22 Dez 2004 - 23:30:35    Titel:

aNoPha hat folgendes geschrieben:
Aber wie kommt man mathematisch gesehen auf

sin x / x = 1 , wenn x gegen 0 konvergiert.

Genau mit dieser langen Zeile habe ich ein Problem. Kannst du das erklären bzw. herleiten?



Dann sag mir mal, bis zu welchem Punkt der langen Zeile Du die Umformungen noch verstehst und wo die Probleme anfangen.

Gruß
Andromeda
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Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 23 Dez 2004 - 00:12:52    Titel: Re: Berechnung Grenzwerte ohne de l'Hopital

aNoPha hat folgendes geschrieben:
Ich habe Probleme bei der Berechnung folgender Grenzwerte. Dabei soll nicht die Regel de l'Hopital verwendet werden.
Könnte mir bitte jmd. helfen?

lim [ a * sin (b x ) ] / [ c*x ]
x->0

Hier ist die Lösung. Für mich ist das aber nicht ausführlich genug.



Fangen wir beim linken Term an:

sin(x) <= x

Das ist am Einheitskreis leicht zu erkennen, x ist die Länge des Kreisbogens.

Wenn sin(x) aber <= x, dann ist natürlich auch sin(x)/x <= 1.

Ist das bis hierher noch verständlich?

Zum 2. Term:

Am Einheitskreis sieht man aber auch, dass x <= tan(x) ist.

Und tan(x) = sin(x)/cos(x). Das müsste auch noch verständlich sein.

Aus tan(x) = sin(x)/cos(x) folgt cos(x) = sin(x)/tan(x).

Da aber tan(x) >= x ist folgt (direkt aus vorheriger Gleichung) cos(x) <= sin(x)/x. Und aus dem ersten Term ging hervor, dass sin(x)/x <= 1 ist.

Dann gilt gesamt (3. Term) für x -> 0:

cos(x) <= sin(x)/x <= 1

Da aber für x-> 0 der cos(x) gegen 1 geht, gilt

1 <= sin(x)/x <= 1 für x-> 0

Wenn sin(x)/x aber gleichzeitig größer gleich 1 und kleiner gleich 1 ist für x ->0, dann kann sin(x)/x nur = 1 sein für x-> 0.

Damit hat man den lim:

lim (sin(x)/x) = 1 für x ->0

Gruß
Andromeda
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