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komlexe nullstellen
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codewappler
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Anmeldungsdatum: 04.03.2007
Beiträge: 97

BeitragVerfasst am: 22 März 2007 - 20:09:23    Titel: komlexe nullstellen

Hi

War zu faul im Mathe Forum zu posten. Ausserdem bin ich da mit meinem Account nicht rein gekommen.

Also kann mir jemand sagen wie ich auf die komplexen nullstellen von (x^4+x^3+x^2+x+1) komme. Hab das Polynom (x^5-1) in (x^4+x^3+x^2+x+1) * (x-1) zerleget, da die einzige relle Nulstelle ja als "1" ersichtlich ist.

Gibts da einen Alghoritmus?

Danke!
Oldy
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Anmeldungsdatum: 11.01.2007
Beiträge: 500

BeitragVerfasst am: 23 März 2007 - 09:23:49    Titel:

Die Summe aus 5 komplexen Zahlen soll 0 sein. Auf der komplexen Zahlenebene bedeutet dies, dass der Schwerpunkt der 5 Zahlen im Ursprung liegt.

Jede der Zahlen ist durch Winkel und Betrag eindeutig festgelegt. Ist der Winkel von x gleich phi, so ist der Winkel von x² gleich 2*phi, von x³ gleich 3*phi, usw.

5 solche Zahlen haben dann den Ursprung als Schwerpunkt, wenn sie sternförmig um diesen herum angeordnet sind.

Da 1 mit dabei ist, liegen sie auf dem Kreis mit Radius 1. Damit der Ursprung Schwerpunkt ist, müssen die Zahlen 1, x, x²,.... (= e^(i*0), e^(i*phi), e^(i*2phi), ...) gleichmäßig auf dem Kreis verteilt sein. Das ist der Fall wenn:
5*phi= 2*Pi oder
5*phi= 4*pi oder
5*phi= 6*Pi .....
usw.

Entsprechend erhält man für x die Lösungen:
x1= e^(i*0.4*Pi)
x2= e^(i*0.8*Pi)
x3= e^(i*1.2*Pi)
x4= e^(i*1.6*Pi)
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