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Nullstellenbestimmung - Wie viele Verfahren gibt es?
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Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3151

BeitragVerfasst am: 23 Dez 2004 - 18:53:31    Titel: Nullstellenbestimmung - Wie viele Verfahren gibt es?

Hi, ich wollt mal fragen, wie viele Wege es gibt, um die Nullstellen von
Polynomen 3. und 4. Grades (eventuell auch höher) bzw. stetigen Funktionen.

Ich kenne:

-Mitternachtsformel (p-q-Formel)
-Newtonverfahren (Tangenten-Näherungsverfahren)
-Satz von Cardano
-regula falsi (Sekanten-näherungsverfahren)
-Polynomdivision

Gibt es noch eines? Wenns geht, vielleicht mit Internetquelle.

Danke
aldebaran
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Anmeldungsdatum: 30.09.2004
Beiträge: 1673

BeitragVerfasst am: 23 Dez 2004 - 19:54:46    Titel:

Hi Deniz,
man könnte vielleicht noch das Verfahren der Intervallschachtelung dazu nehmen:
Ist f(x) im Intervall [a;b] stetig und ist f(a) <0 und f(b) >0 (oder: f(a)>0 und f(b) <0), dann existiert in [a; b] mindestens eine Nullstelle.

Meist wird das Newton'sche Näherungsverfahren der Intervallschachtelung vorgezogen, weil es sehr viel schneller die Nullstelle anstrebt. Nur dann wenn das Ableitung sehr schwierig ist, könnte die Intervallschachtelung interessant werden.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 23 Dez 2004 - 20:04:38    Titel:

Ich glaube, dass das der falsche Zugang zur Problemmatik ist. Deine Beispiele gehören sehr verschiedenen Berechen der Mathe. Und Polynome und stetige Funktionen gibt es sowohl univariat als auch multivariat (mehrere Variablen). Ich hoffe für Dich, dass Dich nur der erste Fall interessiert.

Mitternachtsformel ist i.A. gar keine Methode für die Bestimmung von NS. von Polynomen vom Grad 3 und 4. und auch nicht für höhere. Polynomdivision ist es ebenfalls nicht, sie ist ein Werkzeug für die Problemreduktion auf einen kleineren Grad, kann man sagen.

Tatsache: Es gibt unendlich viele Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen von Polynomen und stetigen Funktionen, solange die entsprechende Lösbarkeit nachgewiesen werden kann. Und diese unterteilen sich in algebraische und numerische Methoden. Algebraische bestimmen die Nullstellen exakt und numerische nur bis auf eine bestimmte Entfernung.

Bei den algebrischen ist schnell Sense. Für Grad 3 und 4 gibt es geschlossene Lösungen. Ab Grad 5 gibt es nachweisbar keine. Am sonsten ist für die Nullstellenbestimmung bzw. für die Faktorisierung in Z[x] das modifizierte Kronecker Algorithmus die Lösung. Weiterhin sind Verfahren mit Rückgriff auf Restklassenringe (Hensel-Lifting usw.) üblich. Für R[x] gibt es meines Wissens keinen allgemeinen algebraischen Faktorisierungsalgorithmus. Für stetige Funktionen schaut es noch schlimmer aus. Ich behaupte mal allgemein hat man nur numerische Möglichkeiten.

Bei den numerischen Verfahren geht es ja weitgehend darum, eine gegen die gesuchte Nullstelle konvergente Folge zu konstuieren. Diese soll dann bis zu einem bestimmten Glied gebildet werden. Und von den gegen einen Punkt konvergenten Folgen gibt es in R überabzählbar viele. Das gibt einem einen schönen Tip um sich einen Überblick über die Menge der Verfahren z u verschaffen. Allerdings kommt hier die informatische Seite ins Spiel. Ein solches Verfahren muss hingeschrieben werden können. Sonst mach alles keinen Sinn. Und somit hat man eine endliche Kette von Symbolen für je ein Verfahren. Davon gibt es aber abzählbar viele. Also so schlimm wird es wohl nicht sein.

Newtonverfahren und ähnliche sind Speziallfälle von allgemeineren Verfahren. Newton ist z.B. ein Speziallfall von Gradientenapproximation. Dann gibt es Interpolative Approximationsverfahren, die Versuchen in einer Umgebung der Nullstelle die Funktion durch eine andere Funktion (meistens endlichdimensionale VR von Stetigen Fkt, wie Polynome, Trig. Polynome usw) zu nähern.

Fazit: Die Fragestellung ist ein wenig naiv Sad. Es gibt viele dicke (und ich meine wirklich "dicke") Bücher über solche Probleme.
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3151

BeitragVerfasst am: 25 Dez 2004 - 18:39:19    Titel:

Super.

Ich danke euch. Ihr habt mir sehr geholfen. Smile

Deniz
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 26 Dez 2004 - 19:51:55    Titel:

@aldebaran: Für Newtonverfahren sind die hinreichenden Bedingungen sehr stark (z.B. lokale Konvexität oder mehrfache Diffbarkeit). Ich weiss nicht ob man in der Praxis überhaupt Newton-Verfahren ausser bei einfachen Sachen verwendet (wurzeln berechnen oder so.). Hast Du da eine Ahnung? Wäre interessant.
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