Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

Funktionen in 2 variablen
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Funktionen in 2 variablen
 
Autor Nachricht
engerl31185
Gast






BeitragVerfasst am: 23 Dez 2004 - 22:51:51    Titel: Funktionen in 2 variablen

Wer kann mir bei diesem Beispiel helfen?

Gesucht sind die globalen Extremwerte von f(x,y)=3x²-2xy+y² auf der Kreisscheibe x²+y²<= (kleiner gleich)1

danke!!
algebrafreak
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 23 Dez 2004 - 23:11:23    Titel:

Die Funktion ist konvex. Ihre Matrix-Darstellung ist

(x,y) * M * (x,y)^T

für M =
[ 3 -1]
[-1 1]

wobei M positiv definit ist. Daher hat die Funktion in R^2 nur 1 globales extremum. Nämlich bei (0,0).

Alle anderen, die sich aufgrund der Einschränkung des Definitionsbereiches ergeben, befinden sich auf dem Rand der Kreisscheibe. Ich behaupte mal, die Funktion besitzt in jedem Punkt des Randes einen positiven Richtungsgradienten von (0,0) in Richtung des Punktes. So wird man nicht fertig.

Die Eigenwerte der Matrix sind 2+sqrt(2) und 2-sqrt(2). Daher ist die größte Steigung der Fkt in die Richtung des größten Eigenwertes 2+ sqrt(2). Der Eigenvektor zu 2+sqrt(2) ist (-1-sqrt(2),1) Deinen Punkt erhälst Du durch normieren davon:

(-1-sqrt(2) / sqrt(1 + (1+sqrt(2))^2) , 1 / sqrt(1 + (1+sqrt(2))^2).

Was hält man von der Lösung?
algebrafreak
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 23 Dez 2004 - 23:29:26    Titel:

Betrachte dieses idiotische C/C++ Program, das ich speziell dafür verbrochen habe.
Die beiden Ausgaben stimmen überein.


#include <iostream>
#include "math.h"

int main() {

double a = 0;

double mx = 0;
double my = 0;

while (a < 2*3.14) {

double x = sin(a);
double y = cos(a);

double z = 3*x*x-2*x*y+y*y;

if (z > 3*mx*mx-2*mx*my+my*my) {
mx = x; my = y;
}

a = a + 0.00001;

}

std::cout << mx << "," << my << std::endl;

mx = -1 - sqrt(2);
my = 1;
double n = sqrt(mx*mx+my*my);
mx = mx /n;
my = my /n;
std::cout << mx << "," << my << std::endl;

}

P.S. Natürlich ist auch die entgegengesetzte Richtung des EV auch ein symmetrisches gl. Max.
algebrafreak
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 24 Dez 2004 - 17:50:01    Titel:

Schreibt doch bitte, was Ihr davon haltet. Ich bin neugierig.
Physikus
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 02 Jan 2005 - 22:07:06    Titel:

Die Extrema auf der Kreislinie x^2 + y^2 = 1 sollte man getrennt untersuchen, mit dem Verfahren der Lagrange-Multiplikatoren. Im Inneren der Kreisscheibe ist das schnell gelöst: grad f(x,y) = (6x - 2y, 2y - 2x); das ist aber nie (0,0), außer ich setze x = y = 0. So wie algebrafreak kann man es auch machen, wenn man einige IQ-Punkte zu viel hat, aber da kommt man normalerweise nicht drauf. Mr. Green
algebrafreak
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 03 Jan 2005 - 23:25:39    Titel:

Uh. Ich hätte mir mehr Mühe geben sollen Sad Natürlich ist das mit dem Inneren mit dem Gradienten einfacher. Ich habe irgendwie drauf lossgeschrieben...
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Funktionen in 2 variablen
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Seite 1 von 1

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum