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Newton-Verfahren bzw. bestimmen von waagerechter Tangente
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Anko79
Gast






BeitragVerfasst am: 27 Dez 2004 - 18:50:58    Titel: Newton-Verfahren bzw. bestimmen von waagerechter Tangente

Hallo,
ich habe gerade ein paar Nullstellen mit dem Newtonverfahren bestimmt.
Jetzt bin ich am überlegen, wo eigentlich der Konvergenzbereich dieses Verfahrens ist, d.h. im welchen Intervall darf ich einen Startwert wählen , damit dieses Verfahren zum Erfolg führt.
Wenn ich es richtig verstanden habe , darf der Startwert nicht bei einem Extremwert (Minimum,Maximum, waagerechte Tangente) liegen, da sonst dieses Verfahren nicht zum Erfolg führt bzw. der berrechnete Wert immer größer bzw. kleiner wird.
Richtig?
z.B. bei Cos(x)-x müsste der Konvergenzbereich -1<x<4 sein , da bei -1 und 4 der Graph eine waagerechte Tangent besitzt und es nur eine Nullstelle (nämlich in dem Intervall) gibt.

1.Frage: Ist das alles so richtig wie ich es gesagt habe?
2.Frage: Wie bestimme ich, wo der Graph eine waagerechte Tangente besitzt(f'(x)=0?).

Vielen dank im voraus!!!
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 27 Dez 2004 - 19:29:16    Titel:

Zitat:
Jetzt bin ich am überlegen, wo eigentlich der Konvergenzbereich dieses Verfahrens ist


Dazu mal allgemeineres Gelaber:

Wenn die Funktion lokal differenzierbar und lokal konvex in einer e-Umgebung I der Nullstelle x_0 ist, ein Wert b mit f(b) > 0 existiert mit f'(b) > 0, so besitzt die Newton-Folge genau einen einzigen Fixpunkt x_0 = inf{x in I | f(x) = 0} und konvergiert monoton gegen x_0. Analoges gilt für f(b) < 0 bzw. f'(b) < 0.

Natürlich ist obiges nur hinreichend. Eine sich anbietende Strategie wäre also nach grössten Intervallen zu suchen, in denen die Funktion lokal konvex und diffbar ist.

Zitat:
darf der Startwert nicht bei einem Extremwert (Minimum,Maximum, waagerechte Tangente) liegen


Naja. Wenn das auch zugleich deine Nullstelle ist, bist Du fertig. Am sonsten hat man da natürlich ein Problem. Das liegt rechnerisch daran, dass du durch die NS. der Ableitung teilen musst.

Zitat:
bei Cos(x)-x müsste der Konvergenzbereich -1<x<4 sein , da bei -1 und 4 der Graph eine waagerechte Tangent besitzt und es nur eine Nullstelle ... gibt.


In dem Fall kannst Du die 2-Ableitung bestimmten und maximale IV raussuchen, wo die > 0 ist. Das ist dein lokal konvexer Bereich.

Zitat:
.Frage: Wie bestimme ich, wo der Graph eine waagerechte Tangente besitzt(f'(x)=0?).


Allgemein gar nicht. Du wählst einen Wert aus und setzt ihn ein, falls Du es überhaupt kannst. Wenn dann nicht 0 raus kommt, bist Du glücklich. Bedenke: Im Allgemeinen hast Du die Funktion nur teilweise, z.B. nur lokal approximiert, gegeben oder kannst sie nicht all zu oft auswerten. Die Hofnung in der Praxis ist, dass die Funktion hoffentlich obige Eigenschaften hat.
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