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Zahlenrätsel
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Gast







BeitragVerfasst am: 27 Dez 2004 - 19:07:44    Titel: Zahlenrätsel

Also in der letzten Stunde vor den Ferien hat uns unser Mathelehrer folgende Aufgabe mit in die ferien gegeben, er meinte, er sei gespannt, wer darauf käme! ich habe es zwar ein paar mal ausprobirt, aber ich komme nicht drauf, kan mir jemand helfen?

Eine Zahl a hat die Eigenschaft dass 3a in der Form x² + 3y² mit ganzen Zahlen x,y darstellbar ist. Wie kann man a in dieser Form darstellen?
--gast--
Gast






BeitragVerfasst am: 27 Dez 2004 - 20:46:08    Titel:

x² + 3y² = 3a
a = x²/3 + y²

y² = 1, 4, 9, 16, 25, 36, 47

Substitution: x=3u
x²/3 = (3u)²/3 = 3u² = 3, 12, 27, 48, 75

a = ein Quadrat + ein dreifaches Quadrat

a = 4, 7, 12, 13, 16, 19, 21, 28, 31, 36, 37, 39, 43, 48, 49, 52, 57, 61, 63, ...

Ich wieß leider nicht, ob x und y bzw. x und u gleich sein dürfen. Wenn in einer Formel verschiedene Buchstaben stehen, heißt es, das die dahinter stehenden Zahlen auch unbedingt unterschiedlich sein müssen? Weiß jemand Bescheid?
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 27 Dez 2004 - 22:21:25    Titel:

Da die Primfaktorzerlegung von x² mindestens eine 3 enthalten muss, muss auch x durch 3 teilbar sein.
Daher ist für x jede ganze Zahl zulässig, die durch 3 teilbar ist und y darf beliebig gewählt werden.

Also kann man a auch darstellen als:
a = 3*p² + q²
wobei p und q beliebige ganze Zahlen sind (p = x/3 und q = y).

Aber was mit der Frage "Wie kann man a in dieser Form darstellen?" genau gemeint ist, weiss ich nicht.
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