Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

Formelherleitung
Gehe zu Seite 1, 2  Weiter
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Ingenieurwissenschaften -> Formelherleitung
 
Autor Nachricht
Bullet1000
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 27.09.2006
Beiträge: 264
Wohnort: Kitzscher

BeitragVerfasst am: 28 März 2007 - 15:23:54    Titel: Formelherleitung

Hallo.
Ich habe ein kleines Problem.
Wir haben heute im Elektrotechnikunterricht eine freiwillige Aufgabe bekommen, mit der ich aber nicht wirklich zurechtkomme.

Aufgabe:
Leiten Sie die Gleichung für den Ladevorgang des Kondensators aus der
folgenden Differenzialgleichung mathematisch her!

Uc = U - R * C (dUc/dt)

Irgendwie muss dann am Ende also folgende Gleichung rauskommen.

Uc = U*{1-e^[-t/(R*C)]}

Aber wie ich darauf kommen soll, weiß ich absolut nicht.

KAnn mir da jmd weiterhelfen?

mfG Bullet1000
sdddlt
Junior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Junior Member


Anmeldungsdatum: 26.03.2007
Beiträge: 69

BeitragVerfasst am: 28 März 2007 - 17:26:54    Titel:

Das ist eine separable DGL. Um die zu lösen, trennst du die Gleichung so auf, dass auf jeder Seite eine variable mit dessen differential steht. danach integrierst du.

z.b. dy/dx - y = a

variablen trennen: dy / (a + y) = dx

Integrieren: ln|a + y| = x + C

auflösen: y = - a + K*e^x

K ist eine Kostante, die du für den Anwendungsfall bestimmen kannst. Das musst du hier auch machen, um exakt die Gleichung für die Kondensatoraufladung zu bekommen.
Bullet1000
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 27.09.2006
Beiträge: 264
Wohnort: Kitzscher

BeitragVerfasst am: 28 März 2007 - 17:35:48    Titel:

aha.
Diese Regel war mir noch garnicht bekannt.
Aber irgendwie habe ich trotzdem gerade Probleme biem EInsetzen.
Kann mir da vielleicht jmd helfen?
sdddlt
Junior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Junior Member


Anmeldungsdatum: 26.03.2007
Beiträge: 69

BeitragVerfasst am: 28 März 2007 - 17:59:08    Titel:

Also einsetzen musst du nichts. Die Fkt. die ich genannt hab, war nur ein Beispiel für das Verfahren. Die Kondensator DGL lässt sich nach dem selben Prinzip umstellen. Dafür brauchst du erstmal nur die 4 Grundrechenarten und Gewissheit darüber, welche variable zu welchem differenzial gehört.

=> dUc gehört zu Uc, für dt gibt es keine zugehörige variable

jetzt versuch einfach mal die Gleichung so umzustellen, dass dUc mit Uc auf einer Seite, und dt auf der anderen Seite der Gleichung stehen....
Bullet1000
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 27.09.2006
Beiträge: 264
Wohnort: Kitzscher

BeitragVerfasst am: 28 März 2007 - 18:11:19    Titel:

Also ich habe jetzt schon was.
Weiß aber nicht, ob das so stimmt.

Uc - Ub = -RC * (dUc/dt)

(Uc-Ub)dt = -RC * dUc

dt = -RC * [dUc/(Uc-Ub)]

-t/(RC) = ln|(Uc-Ub)|

Ab hier komme ich nicht mehr weiter, falls es bis jetzt überhaupt stimmt.
Kann ich mir jetzt für K irgendeinen Wert raussuchen?

Da würde ich dann einfach so weitermachen:

Uc = Ub + K * e^[-t/(RC)] | K würde ich als -Ub festlegen

Uc = Ub - Ub * e^[-t/(RC)]

Uc = Ub * {1- e^[-t/(RC)]}

kann ich das einfach so machen, oder habe ich da was falsch verstanden?


Zuletzt bearbeitet von Bullet1000 am 28 März 2007 - 18:27:57, insgesamt einmal bearbeitet
sdddlt
Junior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Junior Member


Anmeldungsdatum: 26.03.2007
Beiträge: 69

BeitragVerfasst am: 28 März 2007 - 18:26:55    Titel:

Ja das ist korrekt! Du hast allerdings die Integrationskonstante vergessen.
Die brauchen wir für diese Rechnung nämlich noch...

Allgemein gilt ja: Int(dx) = x + C
Da das C ja schon für den Kondensator steht, nenne ich die Konstante direkt K:

-t/(RC) + K = ln|(Uc-Ub)|

Jetzt willst du ja diese Gleichung in der Form Uc = ... haben.
Dafür musst das Uc aus dem Logarithmus rausholen. Hier lohnt ein Blick in die Logarithmengesetze.

ln( e^x ) = x

e^x ist also die Umkehroperation zu ln(x).
Bullet1000
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 27.09.2006
Beiträge: 264
Wohnort: Kitzscher

BeitragVerfasst am: 28 März 2007 - 18:32:12    Titel:

Da würde ich dann einfach so weitermachen:

Uc = Ub + K * e^[-t/(RC)] | K würde ich als -Ub festlegen

Uc = Ub - Ub * e^[-t/(RC)]

Uc = Ub * {1- e^[-t/(RC)]}

kann ich das einfach so machen, oder habe ich da was falsch verstanden?
Box
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 29.12.2005
Beiträge: 1002

BeitragVerfasst am: 28 März 2007 - 18:36:39    Titel:

-Ub passt. Hast Du geraten oder kannst Du auch sagen wieso -Ub?Smile
isi1
Moderator
Benutzer-Profile anzeigen
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.08.2006
Beiträge: 7388
Wohnort: München

BeitragVerfasst am: 28 März 2007 - 18:38:58    Titel:

Die Herleitung ist nun vorzüglich erklärt.
Wir hatten das Thema kürzlich schon: Zusätzlich könnte man sich Becks Vorlesung 'Grundlagen der Elektrotechnik I' TU Clausthal als Video ansehen. Ab Bild 10 erklärt Prof. Beck sehr ausführlich und - wie ich meine - besonders verständlich genau das Thema, der Typ macht das wirklich erfreulich! Laughing
http://video.tu-clausthal.de/vorlesungen/iee/et1-ws0405/23112004/et1-23112004.html
Bullet1000
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 27.09.2006
Beiträge: 264
Wohnort: Kitzscher

BeitragVerfasst am: 28 März 2007 - 18:42:52    Titel:

geraten habe ich nicht.

Ich kenne ja die Formel Uc = Ub * {1- e^[-t/(RC)]}

da habe ich Ub einfach mal wieder eingeklammert

also:

Uc = Ub - Ub * e^[-t/(RC)]

daraus habe ich abgeleitet, dass K = -Ub sein muss.

Was ich jetzt noch nciht ganz verstehen. Bevor ich die Rechenoperation mit e^(x) ausführe steht doch auch der seite

x + C

nach der Operation steht da

- a + K*e^x

warum wird die Konstante auf einmal multipliziert?
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Ingenieurwissenschaften -> Formelherleitung
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Gehe zu Seite 1, 2  Weiter
Seite 1 von 2

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum