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offene Überdeckung
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Gast







BeitragVerfasst am: 28 Dez 2004 - 23:42:15    Titel: offene Überdeckung

hi!

bin irgendwie schon seit tagen dabei, mir die offene Überdeckung anzueignen, aber ich schaffe es nicht so ganz.

Kann mir einer diesen Teil der Analysis ein wenig näher bringen?

Danke
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 28 Dez 2004 - 23:48:17    Titel:

Analysis? Offene Überdeckungen gehören in die Topologie. Eine offene Überdeckung von A ist einfach eine Menge von offenen Mengen, deren Vereinigung A enthält.
Gast







BeitragVerfasst am: 28 Dez 2004 - 23:58:27    Titel:

wir hatten es in der Diff- Vorlesung unter dem Kapitel Topologie.

aber wie zeige ich so etwas?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 29 Dez 2004 - 00:18:04    Titel:

Zitat:
aber wie zeige ich so etwas?


Das eine offene Überdeckung die von einer Menge A ist? Das ist doch triviale Mengenlehre. Sei a in A dann blah...blah a in U A_i.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 29 Dez 2004 - 16:28:46    Titel:

Ich habe mir das nochmal durchgelesen. Du willst wahrscheinlich Kompaktheit (bzw. Quasikompaktheit) verstehen.
Gast







BeitragVerfasst am: 29 Dez 2004 - 16:58:39    Titel:

was eine Überdeckung besagt habe ich mittlerweile verstanden.

eine Menge ist kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist.

aber wie ich z. B. an die folgende Aufgabe rangehen soll, habe ich nicht so wirklich einen Plan:

Sei U_i eine offende Üebrdeckung des einheitsintervalls [0,1]
Zeigen Sie: Es gibt ein epsilon > 0, so daß für alle x Є [0,1] gilt es existiert ein i Є I mit (x-epsilon,x +epsilon) geschnitten [0,1] c U_i
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 29 Dez 2004 - 17:31:36    Titel:

Zitat:
eine Menge ist kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist.


Dies gilt unter anderem in R^n. Allgemein ist die Aussage nicht einmal vernünftig definiert, denn "Beschränktheit" benötigt eine Ordnung oder eine Metrik auf dem Raum. Eine bessere Definition ist:

Kompakt: quasikompakt und hausdorffsch.
Quasikompakt: Jede offene Überdeckung hat eine endliche Teilüberdeckung
Hausdorffsch: Zwei Punkte sind durch Umgebungen trennbar.

Die letztere braucht dich nicht zu kümmern: Metrisierbare räume sind immer Hausdorffsch, denn Du kannst zu je zwei verschiedenen Punkten den halben (nichtnegativen) Abstand nehmen und bist fertig.

Ich habe das "es gibt" übersehen...

[0,1] is kompakt. Es gibt also zu {U_i}_{i in I} eine endliche Teilüberdeckung {U_i}_{i in J}.Sei x in [0,1]. Dann ist wegen Überdeckungseigenschaft natürlich x in einem der U_i für i in J. Wähle ein U_i mit dieser Eigenschaft. Da U_i offen, gibt es eine offene Kreisscheibe (R ist metrisierbar) um x von der Form B_r(x), die in U_i reinpasst. Setze epsilon = r. Fertig.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 29 Dez 2004 - 17:43:29    Titel:

P.S. Es war eine der Fragen in meinem mündlichen Mathe-Diplom: Leiten sie Kriterien für Räume her, in denen Kompakt <=> Beschränkt und Abgeschlossen gilt (natürlich nicht in der Vorlesung behandelt Smile). Mei, habe ich mich ca. 10 min lang darüber gefreut.
Gast







BeitragVerfasst am: 29 Dez 2004 - 21:20:01    Titel:

Danke für deine Hilfe,

den Beweis werde ich mir dann mal in Ruhe zu Gemüte führen und hoffentlich auch nachvollziehen können.
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 02 Jan 2005 - 22:27:33    Titel:

algebrafreak hat folgendes geschrieben:
denn "Beschränktheit" benötigt eine Ordnung oder eine Metrik auf dem Raum.

Wie definiere ich denn "Beschränktheit", wenn ich nur eine Metrik, aber keine Norm zur Verfügung habe? Confused
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