Mathe-Abi 2007

pedro0815 · Junior Member Anmeldungsdatum: 20.01.2007 Beiträge: 13

Servus,

bin grad beim lernen fürs Abi in Mathe auf folgende Aufgabe gestoßen:

die folge c(n) ist gegeben durch: c(0) = 1; c(n) = c(n-1)+0,2*(5,2-c(n-1))

geben Sie die explizite Darstellung für c(n) an

ich hoffe, dass es jemand gibt, der die Aufgabe lösen und mir uU kurz erklären kann

mfg

_janna_ · Junior Member Anmeldungsdatum: 28.03.2007 Beiträge: 17

also ich würde mal vorschlagen c(0)=1 einfach in die gleichung einzusetzen und dann nach der variablen aufzulösen... also für n jeweils 0 einsetzten und das ganze gleich 1...

MothersLittleHelper · Senior Member Anmeldungsdatum: 01.04.2007 Beiträge: 2501

Hallo!

Das Bildungsgesetz:

c(0) = 1
c(n) = c(n-1)+0,2*(5,2-c(n-1))

mal umformen:

c(0) = 1
c(n) = c(n-1)+0,2*5,2-0,2*c(n-1)) = 0,8*c(n) + 1,04

und jetzt mal einige Folgeglieder aufschreiben:

c(0) = 1
c(1) = 0,8*1 + 1,04
= 0,8 + 1,04
c(2) = 0,8*(0,8 + 1,04) + 1,04
= 0,8^2 + 0,8*1,04 + 1,04
c(3) = 0,8*(0,8^2 + 0,8*1,04 + 1,04) + 1,04
= 0,8^3 + 0,8^2*1,04 + 0,8*1,04 + 1,04
...

und siehe da: am Anfang eine Potenz und dann eine Potenzreihe!
Das neue Bildungsgesetz

c(n) = 0,8^n + 1,04*(0,8^(n-1) + ... + 1)
= 0,8^n + 1,04*(0,8^n - 1)/(0,8 - 1)

oder vernünftig zusammengefasst:

c(n) = 0,8^n - 5,2*(0,8^n - 1) = 5,2 - 4,2*0,8^n

Eine wunderschöne Folge mit Grenzwert 5,2 und allem was Mathematiker so erfreut.

Viel Erfolg!

MothersLittleHelper

pedro0815 · Junior Member Anmeldungsdatum: 20.01.2007 Beiträge: 13

top!

herzlichen dank Very Happy

Lepiwu · Full Member Anmeldungsdatum: 15.12.2006 Beiträge: 125

3e^(5x-1)=2e^(3x) kann mir jemand helfen? ich weiß nicht wie ich diese Gleichung lösen soll

Pincha · Full Member Anmeldungsdatum: 26.03.2007 Beiträge: 129

Versuch's mal mit logarithmieren (hm richtig geschrieben? Wink

), dann fällt e weg und du hast nur noch das was im exponenten steht unten...was genau aber mit der 3 vorm e passiert kann ich dir nicht sagen.. vielleicht
log(3) * (5x+1) = log(2) * 3x

dann den spaß wie gewohnt umformen!

Lepiwu · Full Member Anmeldungsdatum: 15.12.2006 Beiträge: 125

das ist genau mein problem ich weiß auch nicht was mit der den zahlen davor passiert Crying or Very sad

DanielSan · Full Member Anmeldungsdatum: 28.03.2007 Beiträge: 131

Lepiwu · Full Member Anmeldungsdatum: 15.12.2006 Beiträge: 125

das ergebnis lautet 1/2*(1-ln(3/2)), mein problem ist das ich es nicht herausbekomme!

MothersLittleHelper · Senior Member Anmeldungsdatum: 01.04.2007 Beiträge: 2501

Es fehlt ein Minuszeichen!

ln(3) + 5x + 1 = ln(2) + 3x
ln(3) - ln(2) + 1 = 3x - 5x
ln(3/2) + 1 = -2x
x = -1/2 * (ln(3/2) + 1)

Algebra ist nicht deine Stärke? Wink

Lepiwu · Full Member Anmeldungsdatum: 15.12.2006 Beiträge: 125

Mein favoriten sind eher analytische Geometrie und Matrizen. bei Analysis habe ich immer so meine probleme Wink

Lepiwu · Full Member Anmeldungsdatum: 15.12.2006 Beiträge: 125

Wie ist das eigentlich wenn man Stochastik weglässt wie sieht dann die aufgaben wahl aus?

cashmere · Verfasst am: 02 Apr 2007 - 16:22:05 Titel:

wieso stochastik weglassen??
ich weiß nur, dass wir in niedersachsen 3/6 Analysis, dann 2/6 Stochastik oder Lineare Algebra und 1/6 vom übrig gebliebenen thema machen müssen... wir können also nichts weglassen, sondern nur aussuchen wieviel wir von welchem themengebiet nehmen
ich weiß allerdings nicht wie es in anderen bundesländern aussieht..^^

cashmere
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LK1: Mathe Klausur: Razz

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P4: Erdkunde

DanielSan · Full Member Anmeldungsdatum: 28.03.2007 Beiträge: 131

aberniedersachsen ist nunmal nicht nrw Wink

wir lassen stochastik auch weg und kriegen dann wohl ne matritzen aufgabe bzw noch ne vektoraufgabe mit matritzen oder sowas

Lepiwu · Full Member Anmeldungsdatum: 15.12.2006 Beiträge: 125

also gibt es dann eine aufgabe mit analysis, eine geometrie und dann zwei von matrizen?

Lepiwu · Full Member Anmeldungsdatum: 15.12.2006 Beiträge: 125

was denkt ihr sind für den mathe Lk affine Abbildungen relevant?

Chrissilver · Full Member Anmeldungsdatum: 29.03.2007 Beiträge: 86

hab mal ne FRage zu lineare Algebra! Wie rechne ich am klügsten den Abstand zweier windschiefen geraden aus?

Vielen dank schon mal

Holly89 · Junior Member Anmeldungsdatum: 14.02.2006 Beiträge: 44

Einheitsnormalenvektor der beiden Geraden bestimmen.
Dann stützvektoren von einander abziehen un das Ergebnis mit dem Einheitsnormalenvektor multiplizieren(Skalarprodukt!). Das Ergebnis ist der Abstand!

Chrissilver · Full Member Anmeldungsdatum: 29.03.2007 Beiträge: 86

was ist denn ein stützvektor?

Chrissilver · Full Member Anmeldungsdatum: 29.03.2007 Beiträge: 86

denkt euch bitte die Pfeile
ich hab jetzt die Geraden g: x= (1 1 2) + r*(1 0 2)
und h: x= (2 1 0) + s(-6 6 3)

und nu?

also immer noch den Abstand zweier windschiefen geraden! Wink

Chrissilver · Full Member Anmeldungsdatum: 29.03.2007 Beiträge: 86

hm kann mir keiner helfen?

Holly89 · Junior Member Anmeldungsdatum: 14.02.2006 Beiträge: 44

(112) und (210) sind deine Stützvektoren. Da rechnest du 1-2=-1
1-1=0 und 2-0=2
Der neue Vektor ist (-102)
DAn bestimmst den Normalenvektor:
Der ist hier (1 1,25 -0,5) ( wenn ich mich nicht verrechnet habe). Der wird aus den Richtungsvektoren der Geraden bestimmt.
Für den Normaleneinheitsvektor setzt du 1/1,67 vor den Vektor, den das ist 1/ durch die Länge des Vektors.
Nun die Vektoren mit dem Skalarprodukt multilizieren.
Der Betrag vom ergebnis ist der Abstand. Wenn ich mich nicht verrechnet habe, dann kommt da 1,186 raus.
Ich hoffe das stimmtt vom Ergebnis. Der Weg ist auf jeden Fall richtig!

Chrissilver · Full Member Anmeldungsdatum: 29.03.2007 Beiträge: 86

Also das Ergebnis stimmt nicht!
Es müsste vom Buch her 4/wurzel30 rauskommen!

ich komme auch nicht auf das ERgbenis!

~Annika~ · Full Member Anmeldungsdatum: 30.03.2007 Beiträge: 62

Hi!

Wir machen Mathe mit CAS, deshalb kann ich Euch beim Weg nicht so ganz helfen, weil wir das auf relativ umständlichen Wegen lösen.
Jedenfalls hab ich den Abstand eben ausgerechnet, und bei mir kommt genau 8/15*Wurzel5 bzw. gerundet 1,193 raus. Ich denke, dass das mit dem Ergebnis von Holly89 übereinstimmt. Es sind halt einige Rundungsdifferenzen, weil ich einen ganz anderen Weg genommen habe.

Vielleicht ist ja das Ergebnis im Buch falsch?!

Annika

MothersLittleHelper · Senior Member Anmeldungsdatum: 01.04.2007 Beiträge: 2501

Sorry,
aber aus Platzgründen schreibe ich die Vektoren hier zeilenweise.

Um den Abstand der beiden windschiefen Geraden

g: x = ( 1 | 1 | 2 ) + r*( 1 | 0 | 2 )

h: x = ( 2 | 1 | 0 ) + s*( - 6 | 6 | 3 )

zu berechnen, verfolge ich die folgende Grundidee:

1. Bestimme eine Ebene Eh, die die Gerade h enthält und die
parallel zu g ist.

2. Bestimme den Abstand der Geraden g von der Ebene Eh.
Dies ist automatisch der gesuchte Abstand der beiden Geraden.

Der Abstand der Geraden g von der Ebene Eh ist gleich
dem Abstand der Aufpunktes (1|1|2) der Geraden g von der Ebene Eh.

zu 1.

Die Ebene Eh wird bestimmt durch den Aufpunkt der Geraden h ( 2 | 1 | 0 ),
den Richtungsvektoren der beiden Geraden: ( -6 | 6 | 3 ) und ( 1 | 0 | 2 ).

Eh: x = ( 2 | 1 | 0 ) + s*( -6 | 6 | 3 ) + r*( 1 | 0 | 2 )

zu 2.

Für die Abstandsformel für die diese Ebene Eh benötigt man einen Normalen-
vektor der beiden Richtungsvektoren, Den ich über das Kreuzprodukt berechne:

n = ( -6 | 6 | 3 ) x ( 1 | 0 | 2 ) = ( 12 | 15 | -6 )

Man benötigt noch den Betrag dieses Normalenvektors:

|n| = 9*Wurzel(5)

Als Hilfsgröße benötigt man noch das Skalarprodukt aus dem Aufpunktvektor
von Eh und dem Normaltenvektor:

( 2 | 1 | 0 )*( 12 | 15 | -6 ) = 2*12 + 1*15 + 0*(-6) = 39

Den Abstand des Punktes A(x|y|z) von der Ebene Eh berechnet sich nach der Formel

d = Betrag( ( 12x + 15y - 6z - 39 ) / ( 9 * Wurzel(5) ) )

{Die Abstandsformel erhält man, wenn die etwas umgegestellte Ebenengleichung zu Eh

x - ( 2 | 1 | 0 ) = s*( -6 | 6 | 0 ) + r*( 1 | 0 | 2 )

mit dem Normalenvektor multipliziert und durch den Betrag des Normalenvektors
geteilt wird.}

Jetzt nur noch den Aufpunkt der Geraden g einsetzen:

d = Betrag( ( 12*1 + 15*1 - 6*2 - 39 ) / ( 9 * Wurzel(5) ) )
= Betrag( ( - 24 ) / ( 9 * Wurzel(5) ) )
= 8 / ( 3 * Wurzel(5) )
= ( 8/15 ) * Wurzel(5)
etwa 1,19

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Das alles lässt sich zu dem folgenden Verfahren zusammendampfen:

1. Bilde den Normalenvektor aus den beiden Richtungsvektoren der Geraden:

n = ( 1 | 0 | 2 ) x ( -6 | 6 | 3 ) = ( -12 | -15 | 6 )

2. Berechne den Betrag des Normalenvektors:

|n| = Wurzel( (-12)^2 + (-15)^2 + (6)^2 ) = Wurzel(405) = 9*Wurzel(5)

3. Bilde die Differenz der beiden Aufpunktvektoren der Geraden:

Differenz = ( 1 | 1 | 2 ) - ( 2 | 1 | 0 ) = ( 1-2 | 1-1 | 2-0 ) = ( -1 | 0 | 2 )

4. Multipliziere diese Differenz mit dem Normalenvektor (bilde das Skalarprodukt)

Produkt = ( -1 | 0 | 2 )*( -12 | -15 | 6 )
= (-1)*(-12) + 0*(-15) + 2*6
= 24

5. Dividiere dieses Produkt durch den Betrag des Normalenvektors
(eventuell musst man noch anschließend den Betrag nehmen)

Abstand = 24 / ( 9 * Wurzel(5) ) = (8/15) * Wurzel(5)

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Viel Spaß und weiterhin frohe Osterfeiertage wünscht
MothersLittleHelper

Chrissilver · Full Member Anmeldungsdatum: 29.03.2007 Beiträge: 86

dann war ich ja doch gar nicht so falsch!
Hab die ganze Zeit hin und her gerechnet und nie kam ich auf das angegebene Ergebnis! DAS kann echt ganz grauenvoll sien, weil man den Fehler ja meist bei sich selbst sucht! DAnkeschön Smile

Habt mir sehr geholfen

Maria87 · Verfasst am: 09 Apr 2007 - 12:25:39 Titel:

Ich hab auch mal ne Frage zu folgender UAfgabe:

Omnibusse bekommen neue DREITEILIGE Fenster. In Form eines Rechtecks mit angesetzten Halbkreisen (rechts und links). Sämtliche Einfassungen müssen eine Gesamtlänge von 600 cm besitzn.
Welche Maße empfehlen wir dem Designer, damit die Glasfläche dieses Fensters möglichst groß wird?

Wie geht man da vor? Mit Extrempunkten sicher irgendwas, oder? Aber dazu brauch ich erstmal einen Ansatz für ne Gleichung und da steh ich grad aufm Schlauch...

Chrissilver · Full Member Anmeldungsdatum: 29.03.2007 Beiträge: 86

Chrissilver · Full Member Anmeldungsdatum: 29.03.2007 Beiträge: 86

weiß einer weiter???

MothersLittleHelper · Senior Member Anmeldungsdatum: 01.04.2007 Beiträge: 2501

@Chrissilver

Der Richtungsvektor in deinem Originalposting war ( -6 | 6 | 3 ).

Bei Eintippen meiner Lösung habe ich bei der Wiederholung der Aufgabenstellung einen Fehler bei diesem Vektor gemacht.
Und wegen Copy And Paste gleich noch einmal.

Ich hab es gerade korrigiert.

Der Rest sollte aber richtig sein!

MothersLittleHelper