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konvergenz einer folge
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mathemagier
Gast






BeitragVerfasst am: 29 Dez 2004 - 22:20:05    Titel: konvergenz einer folge

hallo!
kann mir vielleicht jemand bei folgender aufgabe helfen:
konvergiert diese folge und wie bekomme ich das heraus:
((2^n)*n^2)/(3^n)
wäre für hilfe sehr dankbar
Andromeda
Senior Member
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 10.12.2004
Beiträge: 1849
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 30 Dez 2004 - 01:14:45    Titel:

Hallo,

bin nicht unbedingt der Experte für so was, aber hier meine Gedankengänge:

Die Folge ((2^n)*n^2)/(3^n) lässt sich schreiben als

(2/3)^n * n²

Diese Folge ist immer positiv. Die Folge besitzt einen Grenzwert, wenn Sie zum Beispiel monoton fallend ist.

Sei a(n) ein beliebiges Glied der Folge, dann ist a(n+1) das Folgeglied. Gezeigt wird, dass a(n+1) < a(n) für beliebiges n.

a(n) = (2/3)^n * n²

a(n+1) = (2/3)^(n+1)*(n+1)² = (2/3) * (2/3)^n * (n² + 2*n + 1)

= (2/3) * [(2/3)^n* n² + (2/3)^n*n + (2/3)^n)
= (2/3)*a(n) + (2/3)*[(2/3)^n * 2 * n + (2/3)^n]
= (2/3)*a(n) + (2/3)*[(2/3)^n *( 2 * n + 1)]
= (2/3)*a(n) + Rest

Jetzt muss gezeigt werden, dass der Rest < (1/3)*a(n) ist, dann ist a(n+1) < a(n)

(1/3)*a(n) > (2/3)*[(2/3)^n *( 2 * n + 1)]
(1/3)* (2/3)^n * n² > (2/3)*[(2/3)^n *( 2 * n + 1)]
(1/3) * n² > (2/3)*(2*n + 1)
n² > 4 * n + 2

und dies ist für alle n > 4 gültig.

Damit ist die Folge für n > 4 monoton fallend und, da immer größer 0, konvergent.

Soweit hierzu. Aber vielleicht meldet sich doch noch einer der Experten (z. B. Thomas_Da) und liefern Dir eine bessere Lösung.

Gruß
Andromeda
Sue84
Gast






BeitragVerfasst am: 30 Dez 2004 - 15:28:39    Titel:

Ich hab das folgendermaßen gelöst:

Du musst hier das Quotientenkriterium q = (an+1)/an anwenden.

Also:

(an+1)/an = (2^(n+1)*(n+1)²)/(3^(n+1)) / (2^(n)*n²/3^n)

= (2^(n+1)*(n+1)²*3^n) / (3^(n+1)*2^(n)*n²)

= (2^(n)*2*(n+1)²*3^(n)) / (3^(n)*3*2^(n)+n²)

2^(n) und 3^(n) lässt sich nun kürzen und auf (n+1)² die dritte binomische Formel anwenden

= (2(n²+2n+1)) / (3n²)

nun immer die höchste Potenz im Nenner(!) ausklammern, hier: n²

= (2n²(1+2/n+1/n²)) / (3n²)

n² lässt sich kürzen

= (2(1+2/n+1/n²)) / (3)

Zähler ausmultiplizieren

= (2+4/n+2/n²) / (3)

4/n und 2/n² gehen gegen 0, also

(2+0+0) / (3) = 2/3 -> q

|q| < 1 Konvergenz
|q| > 1 Divergenz
|q| = 1 keine Aussage

|q| = 2/3 < 1 => Konvergenz


Ich hoffe es stimmt und ich konnte dir helfen!
Gast







BeitragVerfasst am: 30 Dez 2004 - 18:30:37    Titel:

Wiso denn das Quotientenkriterium? Das gilt doch nur bei einem Summenzeichen, oder nicht?
Hier haben wir doch eine normale Folge(oder wie auch immer man das nennt), jedenfalls ohne Summenzeichen.
trotzdem vielen Dank!!!
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