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Dimension und Bild
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Gast







BeitragVerfasst am: 31 Dez 2004 - 17:22:57    Titel: Dimension und Bild

Hi!

Zum Abschluß des Jahres noch mal zwei Fragen.

Sitze vor einer Aufgabe, hänge aber, weil ich nicht weiß wie ich das Bild einer Matrix bestimmen kann und dann weiter die Dimension dieses Bildes?

Vielen Dank!
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
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BeitragVerfasst am: 01 Jan 2005 - 21:00:27    Titel:

Setze einfach deine Basisvektoren in die Abbildung und schmeisse in der Bildmenge alle linear abhängigen weg (z.B. durch Gauss-Elimination). Die Anzahl ist dann die Dimension des Bildes und die übrig gebliebenen Vektoren sind dann eine Basis. [Beweis?]
Gast







BeitragVerfasst am: 02 Jan 2005 - 17:11:32    Titel:

hm, irgendwie noch nicht so ganz klar.

wenn ich die folgende Matrix habe, wie muss ich dann vorgehen?

0 1 2 1
2 2 1 1
2 0 0 2 =A
1 2 1 0

Danke!
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 03 Jan 2005 - 22:04:52    Titel:

Setze einfach die kanonischen Basisvektoren ein. Dann bekommst Du gerade die Spalten von A als Vektoren. In diesen bzw. aus diesen musst Du linear abhängige Vektoren finden bzw. machen. Das machst Du am besten mit Gauss-Elimination. Raus kommen tut im wesentlichen eine ZSF von A^T:

1 2 0 2
0 1 1 1/2
0 0 1 -1/2
0 0 0 0

die ersten drei vektoren (transponiert) bilden eine Basis für den Bildraum. Demnach ist seine Dimension 3. Ich habe ein Tool geschrieben, mit dem man das ganze veranschaulichen kann. Findest Du unter

www.fmi.uni-passau.de/~lasaruk/ela.html

Wenn Du fragen zu Benutzung hast, beantworte ich sie dir gerne. Falls Du kein REDUCE hast, kann ich dir ausgewählte beispielrechnungen schicken. Ist auch kein Problem.
Gast







BeitragVerfasst am: 03 Jan 2005 - 22:37:34    Titel:

Wäre nett, wenn du mir welche schicken könntest, ich habe kein REDUCE
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
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BeitragVerfasst am: 03 Jan 2005 - 22:48:32    Titel:

Ich weiss nicht wirklich, welche der Aufgaben ich die schicken soll. Poste einfach mal die Fragestellungen.
sunshine_
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Beiträge: 136

BeitragVerfasst am: 03 Jan 2005 - 22:54:29    Titel:

http://www.uni-math.gwdg.de/bunke/agla1/aglal10.pdf

die Aufgabe 3.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 03 Jan 2005 - 23:22:35    Titel:

Der Witz an der Aufgabe ist, nochmal, dass in F_3 jedes Element (ausser 0) invertierbar ist und die Rechnung sonst auch modulo 3 für Z richtig ist. Die Gauss-Elimination

http://www.fmi.uni-passau.de/~lasaruk/out.ps

Das ganze ist erstmal für Z. Jetzt ist die Frage, wass in F_3 1/2 und -1/2 sind. Das ist nicht schwer (geht auch algorithmisch) 1/2 ist das inverse zu 2 und somit 2, denn 2*2 = 1 in F_3. -1/2 ist also -2 und somit 1, denn -2 * 1 = -2 = 1 in F_3. Jetzt ersetzt man alles und muss noch prüfen, ob sich durch die Ersetzung weitere Vereinfachungen ergeben:

(1,2,0,2)
(0,1,1,2)
(0,0,1,1)

Die Sache ist aber schon in ZSF.

Beachte: Der Lösungsweg demonstriert in erster Linie das Paket. Ich weiss nicht ob es klug ist das als "Lösung" abzugeben.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 04 Jan 2005 - 00:35:26    Titel:

Schau mal da hin. Noch mehr LAI-Mist.

http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/12627,0.html
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 05 Jan 2005 - 21:41:52    Titel:

Nachtrag: Obige Lösung ist falsch.

Begründung: Was mir offensichtlich entgangen ist, ist die Tatsache, dass man in der Rechnung als Zwischenergebnis 1/3 hat. Es gibt aber in Z/nZ kein inverses zur Repr. Klasse der 3 bzw. 0. Daher kann die Rechnung nicht korrekt sein.

Auf jeden Fall ist das (negative) Ergebnis extrem interessant. Ich war mir eben sicher, dass es durchgeht.

Richtig ist, natürlich eine 2-dimensionale Basis

(1 2 0 2)
(0 1 1 2)
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