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Gleichheit von Mengen prüfen mit einfachem Beweis !
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Gast







BeitragVerfasst am: 01 Jan 2005 - 11:35:26    Titel: Gleichheit von Mengen prüfen mit einfachem Beweis !

Hi,

ich möchte folgendes prüfenn ohne ein Gegenbeispiel. (Dass man unten stehende Gleichung mit einem Beispiel zeigen kann, dass es nicht gleich ist, weiss ich)

Ohne Gegenbeispiel, da ich im ersten Semester bin, und lernen will wie man, wenn man nicht weiss, ob es ein Gegenbeispiel gibt, trotzdem Schritt für Schritt vorgehn kann, und dann tatsächlich sieht, dass es nicht mehr weitergeht und dann wirkich erkennt, dass die Gleichung nicht stimmen kann. Also wirklich ohne von Anfang an zu "sehen" dass es nicht gleich ist und dann das mit einem Gegenbeispiel zu zeigen.
Ich hoffe ihr versteht was ich meine.

Folgendes ist zu prüfen:

Sei A,B,C Mengen,
u bedeutet Vereinugung,
x bedeutet kartesische Produkt.

(CxC) u (AxB) = (CuA) x (CuB).

Mein Problem hierbei ist erst mal, wie kann ich CxC anderst aufschreiben?

Wenn ich AxB hab, weiss ich, dass ich das folgendermassen augschreiben kann:

AxB={(a,b):a€A und b€B}.

So hab ich mir das überlegt, vorzugehn. Was meint Ihr dazu? Ist das ein sinnvoller Weg, das zu lernen? Ich denke schon.

Vielen dank im vorraus.
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 01 Jan 2005 - 13:26:56    Titel:

Ich weiss auch nicht, wie man so etwas genau macht, aber ich würde aus logischen Überlegungen folgende Schritte durchführen:
(CxC) u (AxB) = (CuA) x (CuB)
(CxC) u (AxB) = [(C) x (CuB)] u [(A) x (CuB)]
(CxC) u (AxB) = [(CxC) u (CxB)] u [(AxC) u (AxB)]
(CxC) u (AxB) = (CxC) u (CxB) u (AxC) u (AxB)
(CxC) u (AxB) = [(CxC) u (AxB)] u (CxB) u (AxC)
Hier ist ein Widerspruch zu erkennen, damit ist die erste Zeile nicht als Gleichung erfüllt.
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 01 Jan 2005 - 13:30:05    Titel:

Thomas_Da hat folgendes geschrieben:
Hier ist ein Widerspruch zu erkennen, damit ist die erste Zeile nicht als Gleichung erfüllt.

Wenn B ein Teilmenge von C und C eine Teilmenge von B ist, also B und C gleich sind (B geschnitten C gleich B und B geschnitten C gleich C), dann ist die gegebene Gleichung gültig.
Gast







BeitragVerfasst am: 01 Jan 2005 - 13:49:03    Titel:

ich bins nochmal, hi,

erst mal vielen dank, für die antwort!

aber wie kommst du darauf, dass man das so machen darf:

(CxC) u (AxB) = (CuA) x (CuB)
(CxC) u (AxB) = [(C) x (CuB)] u [(A) x (CuB)]
(CxC) u (AxB) = [(CxC) u (CxB)] u [(AxC) u (AxB)]
(CxC) u (AxB) = (CxC) u (CxB) u (AxC) u (AxB)
(CxC) u (AxB) = [(CxC) u (AxB)] u (CxB) u (AxC)

sind das einfach rechenregeln von kreuzprodukten?

und meine zweite frage ist, wieso setzt du in der letzten zeile einfach die eckige klammer? darf man das?

das mit der gleichheit von B und C, was du geschrieben hast, ist mir klar, das kenn ich.

aber die dritte frage ist, ich seh da keinen zusammenhang mit dem B geschnitten C gleich B, und B geschnitten C gleich C. was meinst du damit?
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 01 Jan 2005 - 20:57:02    Titel:

Anonymous hat folgendes geschrieben:
aber wie kommst du darauf, dass man das so machen darf:
...
sind das einfach rechenregeln von kreuzprodukten?

Wie gesagt kenne ich mich mit den Regeln nicht aus. Aber es ist ja ganz logisch, dass das so gelten muss.
(AuB) x C = {(x,y):xeAoderB und yeC}.

[A x C] = {(x,y):xeA und yeC}.
[B x C] = {(x,y):xeB und yeC}.
[A x C] u [B x C] = {(x,y):xeA und yeC} u {(x,y):xeB und yeC}
[A x C] u [B x C] = {(x,y):xeAoderB und yeC}
Damit ist
(AuB) x C = [A x C] u [B x C]
und das habe ich angewendet.
Zitat:
und meine zweite frage ist, wieso setzt du in der letzten zeile einfach die eckige klammer? darf man das?

Im Grunde handelt es sich bei den Termen um Mengen und in welcher Reihenfolge ich "Addiere" ist bekanntlich egal.
Zitat:
das mit der gleichheit von B und C, was du geschrieben hast, ist mir klar, das kenn ich.

aber die dritte frage ist, ich seh da keinen zusammenhang mit dem B geschnitten C gleich B, und B geschnitten C gleich C. was meinst du damit?

Wie gesagt, ich interpretiere das wieder als Mengen. Der Schnitt zweier Mengen beinhaltet die Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind. Also A = {2;4;6;8;10;12} und B = {1;4;9;16} dann ist A geschnitten B = {4}. Wenn beide Mengen gleich sind, dann ist auch der Schnitt dieser Mengen gleich der beiden Mengen.
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