Trägheitsmoment eines dünnen Stabes

algebra1 · Full Member Anmeldungsdatum: 23.10.2005 Beiträge: 160

Hallo,

wie gehe ich am Besten vor, um das Trägheitsmoment eines starren Körpers zu berechnen? In dem Falle das Trägheitsmoment eines dünnen Stabes.

Es gilt ja: I = Int(r^2dm)

Wobei r der Abstand (bzw. Radius) zum Schwerpunkt ist.

as_string · Verfasst am: 06 Apr 2007 - 21:35:28 Titel:

Hallo!

Normalerweise definiert man dafür eine Dichte rho. Das kann bei ausgedehnten Körpern eine Masse pro Volumen sein (so ist die Dichte ja normalerweise definiert), aber bei einer flachen Scheibe wäre eine Flächendichte und bei einem dünnen Stab auch eine Längendichte vielleicht sinnvoller. Also hast Du eine bestimmte Masse pro Länge. Wenn m die Masse des Stabes ist und l die Länge, dann hast Du also:
rho = m/l
Ich gehe mal davon aus, dass Du I bezüglich des Schwerpunktes berechnen möchtest, also von der Mitte aus. Dann kannst Du Dein Integral auch so ausdrücken:
I = int(r² dm) = int([-½·l bis +½·l], r² rho·dr) = rho· (1/3 r³) |↓(-½·l)↑(+½·l) = rho ·(1/24 l³ + 1/24 l³) = rho·1/12 l³ = m/l · 1/12 l³ = m·1/12 l²

Gruß
Marco

algebra1 · Full Member Anmeldungsdatum: 23.10.2005 Beiträge: 160

Ok, soweit klar.

Wie kommt man von r²·dm auf r² rho·dr?? m ist ja gleich rho·l

p-norm · Verfasst am: 06 Apr 2007 - 23:46:43 Titel:

eigentlich ist m=roh*volumen...

as_string · Verfasst am: 07 Apr 2007 - 03:11:24 Titel:

Hallo!

Ich zerlege die ganze Stange einfach der Länge nach in kleine Stückchen. Diese kleinen Stückchen sind meine dr. Die Masse eines solchen Stückchens ist gerade die Länge dr des Ministück mal die Längendichte rho. Jedes dieser Stückchen ist so (unendlich) klein, dass es quasi einen Massepunkt in einem festen Abstand r zur Drehachse trägt. Alle diese Stückchen muss ich danach dann wieder aufsummieren über die ganze Länge, die von -½l bis +½l geht.

Ich denke, Dich verwirrt vielleicht die Bezeichnung dr, die ich von Deiner Formel übernommen habe. Das soll keine allgemeine Formel sein oder so, nur hier ist eben so ein dr-Längenabschnitt gerade auch immer in radialer Richtung, deshalb bietet sich das an.

@p-norm: Lies nochmal meinen ersten Post. Da habe ich das beschrieben, dass rho hier mal die Längendichte sein soll und nicht die Volumendichte.

Gruß
Marco

Don Ghibli · Full Member Anmeldungsdatum: 31.08.2008 Beiträge: 172

hallo ich habe ein ähnliches problem und zwar:
wie könnte man die aufgabe rechnen bei drehung um die stabachse und bei drehachse senkrecht zum stab durch eines der enden ?
ich nehme mal an du hast die aufgabe gerechnet mit drehachse senkrecht zum stab durch den schwerpunkt?

und dann komme ich noch hier nicht weiter:
berechnen sie durch integration das trägheitsmoment eines zylinder, bei dem die masse gleichmäßig auf den (dünnen) mantel der oberfläche verteilt ist und das eines vollzylinder der selben masse.
hinweis: bei homogener dichte des körpers gilt für das massenelement dm= pdV (p ist denk ich mal roh)

vielen dank

Kingcools · Full Member Anmeldungsdatum: 14.09.2007 Beiträge: 410

es gilt bei homogener massenverteilung:

m = p*l
->

dm/dl = P

-> dm = p*dl

-> Int(dm*r²) = Int(r²*p*dr), l = r
=
1/3 * r³*p, r*p = l
->
1/3 r² * m = Trägheitsmoment

Don Ghibli · Full Member Anmeldungsdatum: 31.08.2008 Beiträge: 172

danke für deine antwort, deine schritte sind alle für mich nachvollziehbar, jedoch verstehe ich leider noch nicht, was ändert sich bei der berechnung des trägheitsmoments bei drehung um die stabachse und bei drehachse senkrecht zum stab durch eines der enden ?

Kingcools · Full Member Anmeldungsdatum: 14.09.2007 Beiträge: 410

Die Integralgrenzen.
Habe hier jetzt von 0 bis l integriert. Dann integrierst du aber von -l/2 bis l/2
Damit ändert sich auch, dank des r³, der koeffizient vorne(also statt 1/3 wird das dann kA 1/12 oder so)

Kingcools · Full Member Anmeldungsdatum: 14.09.2007 Beiträge: 410

nein, wenn du von 0 bis l integrierst, ist dein Anfang ja die Null, d.h. du setzt ein Stabende dahin.
Wenn du von -l/2 bis + l/2 rechnest, ist das das trägheitsmoment um eine achse durch den mittelpunkt