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Gleichung mit Wurzeln
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kian
Gast






BeitragVerfasst am: 02 Jan 2005 - 15:27:44    Titel: Gleichung mit Wurzeln

((x - wurzel a)/(wurzel b + wurzel c)) + ((x - wurzel b)/(wurzel a + wurzel c)) + ((x - wurzel c)/(wurzel a + wurzel b)) = 3

wer hat eine richtige Idee.

Ich danke euch.
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 02 Jan 2005 - 17:07:11    Titel:

Also ich würde jeweils die Nenner gemäß der 3. Binomischen Formel erweitern, so dass im Nenner keine Wurzel mehr steht, anschließend würde ich versuchen die Nenner gleichnamig zu machen.
Also:
(x - wurzel a)/(wurzel b + wurzel c)
= [(x - wurzel a)*(wurzel b - wurzel c)] / [(wurzel b + wurzel c)*(wurzel b - wurzel c)]
= [(x - wurzel a)*(wurzel b - wurzel c)] / [b - c]
...
= [(x - wurzel a)*(wurzel b - wurzel c)*(a - c)*(a - b)] / (b - c)*(a - c)*(a - b)
...
und dann kann man das ganze auch nach x auflösen.
kian
Gast






BeitragVerfasst am: 02 Jan 2005 - 20:09:50    Titel:

Danke für deine Antwort, aber komme nicht auf das Ergebnis.
Die lösung lautet:

x=wurzel a + wurzel b + wurzel c

Aber wie ???
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 02 Jan 2005 - 23:05:44    Titel:

((x - wurzel a)/(wurzel b + wurzel c)) + ((x - wurzel b)/(wurzel a + wurzel c)) + ((x - wurzel c)/(wurzel a + wurzel b)) = 3

{Multilpikation der gesamten Gleichung mit:
(wurzel b + wurzel c)*(wurzel a + wurzel c)*(wurzel a + wurzel b)

((x - wurzel a)*(wurzel a + wurzel c)*(wurzel a + wurzel b)) + ((x - wurzel b)*(wurzel b + wurzel c)*(wurzel a + wurzel b)) + ((x - wurzel c)*(wurzel b + wurzel c)*(wurzel a + wurzel c))
= 3 * (wurzel b + wurzel c)*(wurzel a + wurzel c)*(wurzel a + wurzel b)

((x - wurzel a)*(wurzel a + wurzel c)*(wurzel a + wurzel b)) + ((x - wurzel b)*(wurzel b + wurzel c)*(wurzel a + wurzel b)) + ((x - wurzel c)*(wurzel b + wurzel c)*(wurzel a + wurzel c))
= 3 * (wurzel b + wurzel c)*(wurzel a + wurzel c)*(wurzel a + wurzel b)

x * [(wurzel a + wurzel c)*(wurzel a + wurzel b) + (wurzel b + wurzel c)*(wurzel a + wurzel b) + (wurzel b + wurzel c)*(wurzel a + wurzel c)
- wurzel a*(wurzel a + wurzel c)*(wurzel a + wurzel b) - wurzel b*(wurzel b + wurzel c)*(wurzel a + wurzel b) - wurzel c*(wurzel b + wurzel c)*(wurzel a + wurzel c)
= 3 * (wurzel b + wurzel c)*(wurzel a + wurzel c)*(wurzel a + wurzel b)

x * [(wurzel a + wurzel c)*(wurzel a + wurzel b) + (wurzel b + wurzel c)*(wurzel a + wurzel b) + (wurzel b + wurzel c)*(wurzel a + wurzel c)
= 3 * (wurzel b + wurzel c)*(wurzel a + wurzel c)*(wurzel a + wurzel b)
+ wurzel a*(wurzel a + wurzel c)*(wurzel a + wurzel b) + wurzel b*(wurzel b + wurzel c)*(wurzel a + wurzel b) + wurzel c*(wurzel b + wurzel c)*(wurzel a + wurzel c)

x = { 3 * (wurzel b + wurzel c)*(wurzel a + wurzel c)*(wurzel a + wurzel b)
+ wurzel a*(wurzel a + wurzel c)*(wurzel a + wurzel b) + wurzel b*(wurzel b + wurzel c)*(wurzel a + wurzel b) + wurzel c*(wurzel b + wurzel c)*(wurzel a + wurzel c) } / { (wurzel a + wurzel c)*(wurzel a + wurzel b) + (wurzel b + wurzel c)*(wurzel a + wurzel b) + (wurzel b + wurzel c)*(wurzel a + wurzel c)}

Wenn man nun die rechte Seite kürzt, also ausmultipliziert, vereinfacht, ausklammert und wieder kürzt, dann kommt hier auch
x=wurzel a + wurzel b + wurzel c
raus.
Gast







BeitragVerfasst am: 07 Jan 2005 - 14:08:00    Titel:

Das geht nie und niemehr
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 07 Jan 2005 - 14:15:22    Titel:

Das wirklich geht kann man sogar beweisen:
Wenn
x=wurzel a + wurzel b + wurzel c
die Lösung ist dann müsste für alle a, b und c diese Lösung die Ursprungsgleichung erfüllen.

((x - wurzel a)/(wurzel b + wurzel c)) + ((x - wurzel b)/(wurzel a + wurzel c)) + ((x - wurzel c)/(wurzel a + wurzel b)) = 3

(((wurzel a + wurzel b + wurzel c) - wurzel a)/(wurzel b + wurzel c)) + (((wurzel a + wurzel b + wurzel c) - wurzel b)/(wurzel a + wurzel c)) + (((wurzel a + wurzel b + wurzel c) - wurzel c)/(wurzel a + wurzel b)) = 3

((wurzel b + wurzel c)/(wurzel b + wurzel c)) + ((wurzel a + wurzel c)/(wurzel a + wurzel c)) + ((wurzel a + wurzel b)/(wurzel a + wurzel b)) = 3

(1 + 1 + 1) = 3
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