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Volumenberechnung Kegel
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LuDDu
Gast






BeitragVerfasst am: 02 Jan 2005 - 20:02:43    Titel: Volumenberechnung Kegel

Hallo

kann mir jmd die Herleitung für die Volumenformel eines Kegels zeigen?Ich muss vorallem wissen woher das 1/3 kommt und warum man es unbedingt braucht!Bin in der 10ten Klasse eines Gymnasium und hab von Mathe nicht wirklich viel ahnung, also wenn es geht so einfach wie möglich.

Gruss LuDDu
Gast







BeitragVerfasst am: 02 Jan 2005 - 20:29:49    Titel:

http://de.wikipedia.org/wiki/Kegel_%28Geometrie%29
LuDDu
Gast






BeitragVerfasst am: 02 Jan 2005 - 20:47:11    Titel:

OK danke,das hat mir schonmal die Herleitung gebracht,nur kapier ich sie net ganz.
Gibt es auch eine Herleitung ohne rotation un bestimmung des Integrals,weil das hab ich noch nie gehört un kapier auch nicht was damit gemeint ist.
Gast







BeitragVerfasst am: 04 Jan 2005 - 18:03:44    Titel:

Hallo,

du kannst dich da "rausreden":

Nach dem Prinzip von Cavalieri haben dein kegel und eine Pyramide mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe das gleiche Volumen.
Und die Pyramidenformel könntest du als bekannt voraussetzen
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 04 Jan 2005 - 21:31:39    Titel:

Ein 3-dimensionaler Körper, wie unsere Pyramide lässt sich in einem 3-dimensionalen Koordinatensystem (x,y,z) darstellen. In der xy-Ebene soll die Grundfläche liegen, wobei der Ursprung der Mittelpunkt der Grundfläche, also des Kreises, ist. die Spitze einer Symmetrischen Pyramide liegt dann auf der z-Achse genau über dem Ursprung.

Ein Volumenintegral ist ein Integral über 3 Dimensionen, also drei geschachtelte Integrale:
V = Int_von_x1_bis_x2( Int_von_y1_bis_y2( Int_von_z1_bis_z2( 1 )dz )dy )dx
Wie hier richtig zu erkennen ist steht in diesen drei Integralen lediglich eine 1.
Kritisch ist es nun die Grenzen zu bestimmen.

Zur Vereinfachung betrachten wir nur ein Viertel der Pyramide, nämlich genau das mit positivem x und positivem y. Wg. Symmetrie haben die anderen Viertel genau das gleiche Aussehen, also auch das gleiche Volumen.

In x-Richtung sind zunächst alle Zahlen zugelassen zwischen 0 und dem Radius r des Grundflächenkreises. Damit sind die Grenzen des äußersten x-Integrals 0 und r.

In y-Richtung sind theoretisch wieder Werte zwischen 0 und r zulässig, "aber nur dann wenn der vorher vorgegebene x-Wert dies zulässt". Man muss sich das so vorstellen, dass nun ein x vorgegeben ist und Du musst die zulässigen y-Werte ermitteln, also die y-Werte, die "noch innerhalb der Pyramide liegen". Wenn x = 0, dann gehören alle Punkte mit y zwischen 0 und r zur Pyramide, wenn jedoch x = r, dann nur noch der Punkt y = 0.
Die Genzen des y-Integrals sind 0 und Wurzel(r²-x²). Wenn man den Grundflächenkreis aufzeichnet, dann kann man ein rechtwinkliges Dreieck einzeichnen, mir den drei Seiten x, r und dem gesuchten y = Wurzel(r²-x²).

Die Grenzen des innersten Ingegrals sind ähnlich zu bestimmen, nämlich von 0 bis zur jeweiligen Höhe an der Stelle x, y.
Diese Höhe ist die obere Grenze des Integrals. Wenn man das Kegelviertel nun im xz-Koordinatensystem betrachtet, dann sieht es aus wie ein Dreieck. Im Grunde ist die Höhe nur vom Abstand des Punktes auf der Grundfläche zum Ursprung abhängig. Wenn der Abstand des "Fußpunktes" genau der halbe Radius ist, dann ist die Höhe an dieser Stelle auch genau die Halbe Höhe. D.h. die jeweilige Höhe = [h*(r-Abstand)] / r und der Abstand ermittelt sich aus Wurzel(x²+y²). Damit ist die Höhe an der Stelle x,y gleich [h*(r-Wurzel(x²+y²))] / r Dies ist somit die obere Grenze des inneren Integrals.

Nun müssen die Integrale von innen nach aussen gelöst werden.

V = Int_von_0_bis_r( Int_von_0_bis_Wurzel(r²-x²)( Int_von_0_bis_[h*(r-Wurzel(x²+y²))] / r( 1 )dz )dy )dx
1 Integiert ist x, obere Grenze eingesetzt - untere Grenze eingesetz (die ist ja 0), bleibt die obere Grenze übrig.
V = Int_von_0_bis_r( Int_von_0_bis_Wurzel(r²-x²)( [h*(r-Wurzel(x²+y²))] / r )dy )dx
Nun muss nach y integriert werden, x kann als Konstante behandelt werden.
Das ist etwas zu schwer für mich, aber so würde es klappen. Wink

Man kann aber auch versuchen, ein Integral aufzustellen, bei dem zunächst nach x integriert wird, das könnte dann einfacher sein.
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 05 Jan 2005 - 01:06:47    Titel:

Thomas_Da hat folgendes geschrieben:
V = Int_von_0_bis_r( Int_von_0_bis_Wurzel(r²-x²)( Int_von_0_bis_[h*(r-Wurzel(x²+y²))] / r( 1 )dz )dy )dx
1 Integiert ist x, obere Grenze eingesetzt - untere Grenze eingesetz (die ist ja 0), bleibt die obere Grenze übrig.
V = Int_von_0_bis_r( Int_von_0_bis_Wurzel(r²-x²)( [h*(r-Wurzel(x²+y²))] / r )dy )dx
Nun muss nach y integriert werden, x kann als Konstante behandelt werden.
Das ist etwas zu schwer für mich, aber so würde es klappen. Wink

Bei einem achsensymmetrischen Körper wie dem Kegel sollte man die Integration in kartesischen Koordinaten auch tunlichst unterlassen und zu Zylinderkoordinaten übergehen-dann ist es einfacher zu rechnen. Wink Nur mal ganz grundsätzlich: in der Schule wird man mit Volumenintegralen eh nix anfangen können, und in der 10.Klasse schon gleich gar nicht...
Thomas_Da
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Anmeldungsdatum: 21.11.2004
Beiträge: 352
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 05 Jan 2005 - 08:41:40    Titel:

@ Physikus
Hast ja recht, aber mich hätte es damals bestimmt interessiert, wie man so etwas machen kann Wink

Und wie man sieht bin ich wohl schon etwas aus der Übung, sonst wäre mir das mit den Zylinderkoordinaten auch eingefallen, aber das ist dann wohl auch nichts für eine 10. Klasse.
LuDDu
Gast






BeitragVerfasst am: 09 Jan 2005 - 13:45:37    Titel:

OK danke an alle!
Noch ne kleine Frage, wer hat das Prinzip mit dem Kegel entdeckt,also die ganzen Formeln usw?War das Cavalieri??
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